Применение теории катастроф маневры и теория катастроф Применение в естественных науках (стр. 9 из 11)
2. Состояния, при которых энергия максимальна. Любое перемещение уменьшает энергию, и, по мере того как шарик удаляется от начального положения, он теряет все больше и больше энергии. Начальное смещение от положения равновесия имеет тенденцию к увеличению (рис.38).
энергия
Состояние
Рис. 38. График зависимости энергии от состояния
Рассмотрим зависимость упругой энергии линейки от ее прогиба для пяти значений приложенной нагрузки (рис. 39).
прогиб
А С F H
состояние 
Рис. 39. Зависимость упругой энергии линейки от ее прогиба.
Каждому возможному прогибу соответствует некоторая энергия. Состояние равновесия – это точки, которым на кривой зависимости энергии линейки от ее прогиба соответствуют горизонтальные участки [9.С.21]. При нулевой нагрузке зависимость имеет W- образную форму (рис. 40).
энергия
прогибD E F
Рис. 40. Характер зависимости энергии от состояния.
Состояния, соответствующие точкам D и F, устойчивы, а состояние, соответствующее точке Е, неустойчиво. Кривую можно разбить на три области: устойчивая, неустойчивая, устойчивая. Поэтому после того как линейка сбросила грузики, она прогнулась вниз, так как для прогиба вверх она должна преодолеть энергетический барьер (рис.41), а дополнительного воздействия извне в рассматриваемом случае нет [9.С.22].
энергетический барьер
новое исходное
состояние состояние
(пргиб вниз) (прогиб вверх)
Рис. 41. Энергетический барьер.
Так как нет внешнего воздействия, благодаря которому система может преодолеть энергетический барьер, то система подчиняется правилу запаздывания (или промедления).
Линейка может прогнется вверх, если на нее действует сила, направленная вверх (отрицательная нагрузка). Такое явление называется гистерезисом.
Зная характер зависимости прогиба от нагрузки, теперь можно объяснить, почему линейка внезапно изменила свою форму: изменилось ее состояние – оно перестало быть устойчивым (рис.42).
прогиб вверх увеличение нагрузки критическая нагрузка прогиб вниз
Рис. 42. Изменение состояний.
Наблюдаемое явление (рис.42) имеет специальное название – катастрофа, а теория, рассматривающая катастрофы, называется теорией катастроф.
Теория катастроф позволяет математически задавать различные катастрофы и выполнять графические изображения, не только на плоскости, но и в пространстве. Рассмотрим зависимость поведения собаки от ее эмоционального поведения (рис.43). агрессия
гнев страх
Рис. 43. Поверхность состояния собаки.
В результате получаем поверхность, которая характеризует зависимость агрессивность собаки от «количества» гнева и страха. Подобные поверхности неоднозначны, то есть любому сочетанию переменных соответствует несколько положений – состояний собаки [9.С.32].
Поверхность имеет такую странную форму, чтобы это понять рассмотрим рис. 44.
агрессия
гнев страх
Рис. 44.Модель поведения собаки.
Стрелке 1 соответствует – возрастающее напряжение,
стрелке 2 – внезапная смена настроения.
Если внимательно рассмотреть рис. 45, то станет понятно, почему внезапно изменяется поведение животного: с начала собака убегает, а затем возвращается и нападает. Все зависит от того, как и в какой последовательности возрастают (или уменьшаются) страх и гнев животного. Собака может напасть, а потом неожиданно для вас обратиться в бегство.
В рассмотренной поверхности возможны следующие случаи (рис.46):
1. Поведение собаки определяется однозначно:
a) гнев без страха - нападение (а);
b) ни гнева, ни страха – индифферентное состояние (b);
c) страх без гнева – бегство.
2. Поведение собаки определяется однозначно: неустойчивое состояние, когда животное боится и раздражено, оно может напасть или убежать (d).
3.
а 
b 
c dРис. 46. Состояние собаки.
Поведение собаки можно рассмотреть на рис.47.агрессия
гнев страх
Рис. 47.Модель поведения собаки.
Состояние собаки определяется линиями, огибающими точку Р. Поверхность состояния собаки можно сравнить с изменением потенциальной энергии при катастрофическом скачке линейки [9.C.36].
Графики, выполненные в фигурных стрелках (рис.48) универсальны. Они выражают и распределение потенциальной энергии, и вероятность состояния поведения животного, поэтому наиболее вероятное поведение имеет максимальную энергию (аналогично минимальной энергии линейки).
Рис. 48. Вероятностное распределение состояний.
Поверхность состояния – это распределение наиболее вероятностного состояния (рис.49) [1.C.136].
Рис.49.Поверхность.
Поверхность такого вида получила название сборка. Это из типов элементарных катастроф. В теории катастроф проводится математическое исследование каждой элементарной катастрофы. Например, катастрофа сборки имеет вид F(x;a,b)=+x4+ax+bx2.
Теперь, зная функциональную зависимость можете самостоятельно построить поверхность вручную или с помощью компьютера.
История создания теории катастроф (1час).
Лекцию об истории создания теории катастроф надо начинать с механики. В 1686 году Исаак Ньютон рассмотрел движение простого маятника в воздухе и воде («Математические начала натуральной философии»). Затухающие колебания такого маятника [1.C.11]. Рассмотренные колебания являются затухающими (рис.50). например неустойчивой системы.
A
Рис.50. График затухающих колебаний.
В 1744 году Леонард Эйлер использовал созданное им математический аппарат (вариационное исчисление) для определения равновесных состояний сжатой упругой колонны [1.C.11].
Жозеф Луи Лагранж в 1788 году в своей работе доказал, что минимум полной потенциальной энергии системы является достаточным для устойчивости (рис.51).
энергия
состояниеРис. 51. Зависимость энергия-состояние.
Наука в 18-19 веках очень быстро развивалась, и возникали различные направления в её отраслях. Анри Пуанкаре стал основоположником теории бифуркаций. С простым примером бифуркации (удвоение) вы неоднократно сталкивались (у=х2). Задача, стоявшая перед учеными заключалась не только рассмотреть окружающий мир, но описать его структуру, движение математически. Одним из ученых, сумевший это сделать был, А.М.Ляпунов. В современных вузах премии для молодых ученых в области механики-математики носят его имя. Ряд ученых в первой половине 20 века смогли рассмотреть и описать динамические системы: А.Пуанкаре, А.Андронов, А.Понтрягин. В настоящее время достижения Пуанкаре представляют большую главу основ механики. Дальнейшее исследование связано с реакцией упругих тел и конструкций на некоторые виды механической нагрузки. Можно отметить важное обобщение Хатчинсона, относящееся к неустойчивости конструкций, нагружаемых в пластической области. Результаты этих научных трудов используются в строительстве и эксплуатации современных зданий, мостов, метро.
Необходимо отметить работы Хаслера Уитни, Рене Тома. К. Зиман ввел термин «теория катастроф». Р. Тома и К. Зиман провели «параллели» между теорией катастроф и исследованиями Эйлера и Лагранжа. Это имеет большой значение для различных инженерных работ. Математические статьи Р. Тома были переизданы массовым тиражом в карманной серии. В 70-х гг. вышли работы Томпсона и Ханта.