СОДЕРЖАНИЕ
Введение. Постановка задачи………………………………...................….….2
Глава 1. ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ………………………………………..……..4
1.1 История создания теория катастроф……………………….………..4
1.2 Физические основы теории катастроф……………………………....8
1.3 Математические основы теории катастроф………………………...12
1.4 Элементарные катастрофы…………………………………………..18
Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ …………………………...32
2.1 Маневры и теория катастроф…………………………………………33
2.2 Применение в естественных науках………………………………….38
2.3 Применение в психологии…………………………………………….43
Глава 3. ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРИИ КАТАСТРОФ…...45
3.1 Применение в методике обучения……………………………………46
3.2 Факультативные занятия по теории катастроф……………………...48
Заключение………………………………………………………………….........67
Список используемой литературы………………………………………...........68
ВВЕДЕНИЕ
Постановка задачи
Если внимательно рассмотреть различные процессы (в механике, физике, химии, технике, астрономии, биологи и прочее), то нельзя не заметить, что устойчивое равновесие при непрерывном изменении параметров системы может стать неустойчивым, а непрерывный процесс с течением времени может стать разрывным [1.C.7]. Изучение таких процессов привело к созданию математической теории, которая рассматривает некоторые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий и позволяет судить о взаимодействии различных событиях (казалось бы, несвязанных между собой).
Но эта теория часто излагается так, что многочисленные технические детали мешают ее восприятию неспециалистами. Вряд ли кто-нибудь мог бы подготовить современное и очень ясное изложение существа предмета квалифицированно, так чтобы было можно горячо рекомендовать каждому читателю, интересующемуся современными достижениями в науке и технике. Дж. Лайтхилл [1.C.7].
В связи с этим была поставлена основная задача дипломной работы - свести основные знания о теории катастроф и её приложении воедино и адаптировать их для учащихся средней школы.
Актуальность данной работы состоит в том что, данная работа способствует формированию мировоззрения (правильного представления об окружающих процессах и явлениях и об ограничениях на их предсказуемость).
Целью данной дипломной работы является изучение математической теории катастроф и ее приложений.
Объект исследования данной работы – процесс формирования научного мировоззрения учащихся на основе теории катастроф.
Предмет исследования – рассмотрение основных направлений приложений теории катастроф.
Цель, объект, предмет исследования позволяют сформулировать задачи исследования. Они состоят в следующем:
1) рассмотреть исторический аспект теории катастроф;
2) изучить основы математической теории катастроф;
3) описать все типы катастроф, которые могут иметь место в естествознании и других науках;
4) сделать литературный обзор приложений теории катастроф;
5) рассмотреть мировоззренческий аспект теории катастроф;
6) создать факультативный курс для средних учебных заведений.
Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения.
Во введении рассмотрены цели, задачи и актуальность данной дипломной работы.
Первая глава посвящена содержанию самой теории катастроф. В ней так же приводятся история становления этой теории. Особое внимание в этой главе уделено типам катастроф, приводится классификация элементарных катастроф Р.Тома.
Во второй главе собраны сведения из научной литературы по приложениям теории катастроф. Здесь приведены примеры катастроф в самых различных отраслях человеческой деятельности.
Третья глава носит оригинальный характер, так как в ней впервые предлагается факультативный курс по теории катастроф для учащихся старших классов средней школы.
В заключении приведены выводы из дипломной работы.
Глава 1. ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ
1.1 История создания теории катастроф
Для полного понимания становления теории катастроф, необходимо начать с механики. В 1686 году Исаак Ньютон изложил экспериментальное исследование движений маятника в воздухе и воде («Математические начала натуральной философии»). Затухающие колебания такого маятника представляют наиболее типичный пример асимптотически устойчивой системы [1.C.11].
В 1744 году Леонард Эйлер использовал созданное им вариационное исчисление для рассмотрения сжатой упругой колонны [1.C.11].
Жозеф Луи Лагранж развил аналитический энергетический метод в механике («Аналитическая механика», 1788) [2.C.4]. Метод Лагранжа привел к фундаментальной теореме о том, что минимум полной потенциальной энергии системы является достаточным для устойчивости. Дальнейший существенный вклад в аналитическую механику принадлежит Уильяму Гамильтону, который понял, как описать векторное поле фазовых траекторий системой дифференциальных уравнений первого порядка. Результатом их деятельности стало формирование представления о консервативной (гамильтоновой) динамической системе.
Очень быстрый рост науки и, в частности, прикладной механики привел к специализации и возникновению разнообразных версий первоначальных классических результатов [1.C.13]. Анри Пуанкаре дал набросок общей теории бифуркаций и создал общую качественную теорию динамических систем.
Математическую точность основному определению устойчивости придал А.М.Ляпунов. В докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» в 1892 году он ввел обобщенные энергетические функции, носящие теперь его имя [1.C12].
Следуя по пути, предложенному А.Пуанкаре, А.Андронов и А.Понтрягин ввели в 1937 году важное топологическое понятие структурной устойчивости, которое лежит в основе последующих классификаций Тома, Зимана, Смейла и Арнольда [2.C.4]. В настоящее время, достижения качественной теории динамических систем Пуанкаре представляют большую топологическую главу основ механики вообще и теории устойчивости в частности. Дальнейшее исследование бифуркаций было проведено Койтером в его диссертации в 1945 году [1.C13]. Более позднее объяснение нелинейного поведения упругих систем под действием консервативной нагрузки предложено Будянским. Можно отметить важное обобщение Хатчинсона, относящееся к неустойчивости конструкций, нагружаемых в пластической области.
В 1955 году американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу «Об отображениях плоскости на плоскость», заложившую основу новой математической теории — теории особенностей гладких отображений [3.C.8]. Она стала одна из центральных областей математики, связывающая абстрактные разделы математики (алгебраическую и дифференциальную геометрию, теорию групп, порожденных отражениями, теорию комплексных пространств, коммутативную алгебру и так далее) с прикладными (теория устойчивости движения динамических систем, теория бифуркаций положений равновесия, геометрическая и волновая оптика и так далее).
Исследования, проводившиеся по изучению теории устойчивости в Университетском колледже в Лондоне (Генри Чилвером), были связаны главным образом с дискретными консервативными системами.
Рене Тома, изучив характер работ Хаслера Уитни по теории особенностей и предшествовавших им работ А.Пуанкаре и А.Андронова по теории бифуркаций, занялся широкой пропагандой этой теории. К. Зиман ввел термин «теория катастроф», как совокупность теории особенностей и ее приложений. Р. Тома и К. Зиман провели «параллели» между теорией катастроф и исследованиями Эйлера и Лагранжа. Ими были рассмотрены взаимосвязь инженерных и топологических подходов в ряде работ - это имело большое значение для создания единой теории бифуркаций [1.C.14].
Рене Тома сделал обзор приложений теории катастроф. Одна из его работ – «Естественнонаучные приложения теории особенностей не исчерпывают всех направлений теории катастроф» была издана в 1974 году. В 70-х гг. вышли работы Томпсона и Ханта, включающие теорию катастроф [4.C.12].
Исследование динамических систем с помощью бифуркаций проводили Л. Д. Ландау, позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному течению при возрастании числа Рейнольдса. Ландау описывал этот переход через бифуркации торов все возрастающей размерности. Позже появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотическому (турбулентному) движению [5.C.9].
В 80-е гг. появляются книги о теории катастроф и её применении: под редакцией А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича «Нелинейные волны. Структуры и бифуркации», «Нелинейные волны. Динамика и эволюция». Г.Заславский и Р.Сагдеев опубликовали «Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса». Американский физик Р. Гилмор рассмотрел приложение теории катастроф в сфере точных наук.
В 1999 году в Уфимском Государственном Авиационном Технологическом Университете на специализации прикладная математика О.М.Киселёв прочитал курс лекций - «Введение в теорию нелинейных колебаний». Его цель – познакомить с методами исследования обыкновенных нелинейных уравнений.
В 2001 году в Ижевском НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» была переведена работа французского учёного Д. Рюэля, который представил основные знания по нелинейной динамике, хаосу за последние десятилетия.
В настоящее время нелинейной динамикой в России занимается Институт радиотехники и электроники и его региональные отделения. Член-корреспондент РАН Д.И. Трубецков занялся реализацией идеи о воспитании мышления, основанного на нелинейной динамики, на базе лицея Колледжа прикладных наук и Высшего Колледжа прикладных наук (факультет нелинейных процессов Саратовского госуниверситета). Учёным был разработан 4-х годичный курс «Как работают и думают физики», включающий в себя такие дисциплины как «Нелинейные колебания», «Теория катастроф», «Динамические системы и бифуркации», «Динамический хаос». А. Кузнецов составил задачник «Колебания, катастрофы, бифуркации, хаос», содержащий теоретические и исследовательские задачи, который был выпущен в 2000 году.