Планирование и финансовые решения в рамках плана 16 1 Финансовый анализ и его роль в принятии решений 21 (стр. 35 из 52)
132. Luskin D. Extremes. – On site: http://www.trendmacro.com/a/luskin/20020724luskin.asp .
133. Luskin D. The New High Plato: Evaluation Conundrum. – On site: http://www.trendmacro.com/a/luskin/20020510luskin.asp.
134. Markowitz H.M. Portfolio Selection // Journal of Finance, March 1952, pp. 77-91.
135. Markowitz H.M. Portfolio Selection. – Yale Univercity Press, 1959.
136. Markowitz H.M. personal Internet homepage. – On site: http://cepa.newschool.edu/het/profiles/markow.htm .
137. MGFS Industry Groups. – On site: http://mgfs.com/ .
138. Option Adviser. – On site: http://www.numa.com/derivs/ref/calculat/option/calc-opa.htm.
139. Peray K. Investing in mutual funds using fuzzy logic. St. Lucie Press, USA, 1999.
140. Peray K. personal Internet homepage. – On site: http://ourworld.compuserve.com/homepages/peray/logicco.htm.
141. Pundit Watch: Abby Cohen. – On site: http://www.smartmoney.com/pundits/index.cfm?story=cohen.
142. Quick Stock Evaluation. – On site: http://www.quicken.com/investments/seceval/ .
143. Sahakian C.E. The Delphi Method. – The Corporate Partnering Institute, 1997. (ISBN: 1891765051).
144. Sharpe W.F. A Simplified Model of Portfolio Analysis // Management Science, January 1963.
145. Sharpe W.F. personal Internet homepage. – On site: http://www.stanford.edu/~wfsharpe/home.htm.
146. Sharpe W.F. Sharpe Ratio. - On site: http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/sr/sr.htm .
147. Shimko, D. Bounds of Probability // Risk, 6, 1993, April, pp 33-37.
148. Siemens Business Services Russia web site. – On site: http://www.sbs.ru/ .
149. SIGEF Association - On site: http://gandalf.fcee.urv.es/sigef/english/frame.html .
150. Taffler R.J., Tisshaw H. Going, going, gone – four factors which predict // Accountancy, March 1977, pp. 50-54.
151. Trippi R.R., Lee J.K. Artificial Intelligence in Finance & Investing: State-of-the-Art Technologies for Securities Selection and Portfolio Management. Irwin Professional Publishing, 1995.
152. UNIDO web site. – On site: http://www.unido.org/ .
153. USA sector summary. – On site: http://biz.yahoo.com/p/s_peeu.html .
154. USA treasures historical data. – On site: http://www.federalreserve.gov/releases/h15/data/m/fp1m.txt
155. Wall A. Study of Credit Barometrics – Federal Reserve Bulletin. Vol. 5 (March 1919), p.p. 229-243.
156. Worldwide Asset Liability Management. – Edited by J.Mulvey and P.Zemba. – N.Y.: John Wiley & Sons, 1998.
157. Yahho! Finance portal. – On site: http://finance.yahoo.com/q?s=^SPC&d=c&k=c1&a=v&p=s&t=my&l=off&z=m&q=l.
158. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets and Systems. - 1978. - Vol.1, №1.
Приложение 1. Основы теории нечетких множеств
Носитель U – это универсальное множество, к которому относятся все результаты наблюдений в рамках оцениваемой квазистатистики. Например, если мы наблюдаем возраст занятых в определенных отраслях экономики, то носитель – это отрезок вещественной оси [16, 70], где единицей измерения выступают годы жизни человека.
Нечеткое множество А – это множество значений носителя, такое, что каждому значению носителя сопоставлена степень принадлежности этого значения множеству А. Например: буквы латинского алфавита X, Y, Z безусловно принадлежат множеству Alphabet = {A, B, C, X, Y, Z}, и с этой точки зрения множество Alphabet – четкое. Но если анализировать множество «Оптимальный возраст работника», то возраст 50 лет принадлежит этому нечеткому множеству только с некоторой долей условности m, которую называют функцией принадлежности.
Функция принадлежности mА(u) – это функция, областью определения которой является носитель U, u Î U, а областью значений – единичный интервал [0,1]. Чем выше mА(u), тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя u нечеткому множеству А. Например, на рис. П1.1 представлена функция принадлежности нечеткого множества «Оптимальный возраст работающего», полученная на основании опроса ряда экспертов.
Видно что возраст от 20 до 35 оценивается экспертами как бесспорно оптимальный, а от 60 и выше – как бесспорно неоптимальный. В диапазоне от 35 до 60 эксперты проявляют неуверенность в своей классификации, и структура этой неуверенности как раз и передается графиком функции принадлежности.
Рис. П1.1. Функция принадлежности нечеткого подмножества «Оптимальный возраст работника»
П1.4. Лингвистическая переменная
Заде [25] определяет лингвистическую переменную так:
W =
, (П1.1)где w - название переменной, Т – терм-множество значений, т.е. совокупность ее лингвистических значений, U – носитель, G – синтаксическое правило, порождающее термы множества Т, М – семантическое правило, которое каждому лингвистическому значению w ставит в соответствие его смысл М(w), причем М(w) обозначает нечеткое подмножество носителя U.
К примеру, зададим лингвистическую переменную W = «Возраст работника». Определим синтаксическое правило G как определение «оптимальный», налагаемое на переменную W. Тогда полное терм-множество значений T = { T1 = Оптимальный возраст работника, T2 = Неоптимальный возраст работника }. Носителем U выступает отрезок [20, 70], измеряемый в годах человеческой жизни. И на этом носителе определены две функции принадлежности: для значения T1 - mT1(u), она изображена на рис. П1.1, для T1 - mT2(u), причем первая из них отвечает нечеткому подмножеству M1, а вторая – M2. Таким образом, конструктивное описание лингвистической переменной завершено.
П1.5. Операции над нечеткими подмножествами
Для классических множеств вводятся операции:
· пересечение множеств – операция над множествами А и В, результатом которой является множество С = А Ç В, которое содержит только те элементы, которые принадлежат и множеству A и множеству B;
· объединение множеств - операция над множествами А и В, результатом которой является множество С = А È В, которое содержит те элементы, которые принадлежат множеству A или множеству B или обоим множествам;
· отрицание множеств - операция над множеством А, результатом которой является множество С = Ø А, которое содержит все элементы, которые принадлежат универсальному множеству, но не принадлежат множеству A.
Заде предложил набор аналогичных операций над нечеткими множествами через операции с функциями принадлежности этих множеств. Так, если множество А задано функцией mА(u), а множество В задано функцией mВ(u), то результатом операций является множество С с функцией принадлежности mС(u), причем:
· если С = А Ç В, то mС(u) = min(mА(u), mВ(u)); (П1.2)
· если С = А È В, то mС(u) = max(mА(u), mВ(u)); (П1.3)
· если С = Ø А, то mС(u) = 1-mА(u). (П1.4)
П1.6. Нечеткие числа и операции над ними
Нечеткое число – это нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности, то есть такую, что а) существует такое значение носителя, в котором функция принадлежности равна единице, а также а) при отступлении от своего максимума влево или вправо функция принадлежности убывает.
Рассмотрим два типа нечетких чисел: трапециевидные и треугольные.
П1.6.1. Трапециевидные (трапезоидные) нечеткие числа
Исследуем некоторую квазистатистику и зададим лингвистическую переменную W = «Значение параметра U», где U – множество значений носителя квазистатистики. Выделим два терм-множества значений: T1 = «U у лежит в диапазоне примерно от a до b» с нечетким подмножеством М1 и безымянное значение T2 с нечетким подмножеством М2, причем выполняется М2 = Ø М1. Тогда функция принадлежности mT1(u) имеет трапезоидный вид, как показано на рис. П1.2.
Рис. П1.2. Функция принадлежности трапециевидного числа
Поскольку границы интервала заданы нечетко, то разумно ввести абсциссы вершин трапеции следующим образом:
а = (а1+а2)/2, в = (в1+в2)/2, (П1.5)
при этом отстояние вершин а1, а2 и в1, в2 соответственно друг от друга обуславливается тем, что какую семантику мы вкладываем в понатие «примерно»: чем больше разброс квазистатистики, тем боковые ребра трапеции являются более пологими. В предельном случае понятие «примерно» выраждается в понятие «где угодно».
Если мы оцениваем параметр качественно, например, высказавшись «Это значение параметра является средним», необходимо ввести уточняющее высказывание типа «Среднее значение – это примерно от a до b», которое есть предмет экспертной оценки (нечеткой классификации), и тогда можно использовать для моделирования нечетких классификаций трапезоидные числа. На самом деле, это самый естественной способ неуверенной классификации.
П1.6.2. Треугольные нечеткие числа
Теперь для той же лингвистической переменной зададим терм-множество Т1={U приблизительно равно а}. Ясно, что а ± d » а, причем по мере убывания d до нуля степень уверенности в оценке растет до единицы. Это, с точки зрения функции принадлежности, придает последней треугольный вид (рис. П1.3), причем степень приближения характеризуется экспертом.
Рис. П1.3. Функция принадлежности треугольного нечеткого числа
Треугольные числа – это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем чаще всего - в качестве прогнозных значений параметра.
П1.6.3. Операции над нечеткими числами
Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) - вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа.
Определим уровень принадлежности a как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.