Планирование и финансовые решения в рамках плана 16 1 Финансовый анализ и его роль в принятии решений 21 (стр. 36 из 52)

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам

и : [a₁, a₂] и [b₁, b₂], соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов:

· операция "сложения":

[a₁, a₂] (+) [b₁, b₂] = [a₁ + b₁, a₂ + b₂], (П1.6)

· операция "вычитания":

[a₁, a₂] (-) [b₁, b₂] = [a₁ - b₂, a₂ - b₁], (П1.7)

· операция "умножения":

[a₁, a₂] (´) [b₁, b₂] = [a₁ ´ b₁, a₂ ´ b₂], (П1.8)

· операция "деления":

[a₁, a₂] (/) [b₁, b₂] = [a₁ / b₂, a₂ / b₁], (П1.9)

· операция "возведения в степень":

[a₁, a₂] (^) i = [a₁ⁱ , a₂ⁱ]. (П1.10)

Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):

· действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;

· сумма треугольных чисел есть треугольное число;

· треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;

· сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;

· сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.

Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. Это прозволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности.

То есть, если мы вводим описание треугольного числа набором абсцисс вершин (a, b, c), то можно записать:

(a₁, b₁, c₁) + (a₂, b₂, c₂) º (a₁ + a₂, b₁ + b₂, c₁ + c₂) (П1.11)

Это – самое распространенное правило мягких вычислений.

П1.7. Нечеткие последовательности, нечеткие прямоугольные матрицы, нечеткие функции и операции над ними

Нечеткая последовательность – это пронумерованное счетное множество нечетких чисел.

Нечеткая прямоугольная матрица – это дважды индексированное конечное множество нечетких чисел, причем первый индекс пробегает M строк, а второй - N столбцов. При этом, как и в случае матриц действительных чисел, операции над нечеткими прямоугольными матрицами сводятся к операциям над нечеткими компонентами этих матриц. Например,

, (П1.12)

где все операции над нечеткими числами производятся так, как они введены параграфом выше.

Поле нечетких чисел – это несчетное множество нечетких чисел.

Нечеткая функция – это взаимно однозначное соответствие двух полей нечетких чисел. В наших приложениях область определения нечеткой функции явзяется осью действительных чисел, то есть вырожденным случаем поля нечетких чисел, когда их треугольные функции принадлежности вырождаются в точку с координатами (а, 1).

Нечеткую функцию уместно назвать по типу тех чисел, которые характеризуют область ее значений. Если поле значений – это поле треугольных чисел, то и саму функцию уместно назвать треугольной.

Например [58], прогноз продаж компании (нарастающим итогом) задан тремя функциями вещественной переменной: f₁(T) – оптимистичный прогноз, f₂(T) – пессимистичный прогноз, f₃(T) – среднеожидаемые значения продаж, где Т – время прогноза. Тогда лингвистическая переменная «Прогноз продаж в момент Т» есть треугольное число ( f₁(T), f₂(T), f₃(T) ), а все прогнозное поле есть треугольная нечеткая функция (рис. П1.4), имеющая вид криволинейной полосы.

Рис. П1.4. Нечеткий прогноз продаж

Рассмотрим ряд операций над треугольными нечеткими функциями (утверждения приводятся без доказательства):

· сложение: сумма (разность) треугольных функций есть треугольная функция;

· умножение на число переводит треугольную функцию в треугольную функцию;

· дифференцирование (интегрирование) треугольной нечеткой функции проводится по правилам вещественного дифференцирования (интегрирования):

( f₁(T), f₂(T), f₃(T) ) = ( f₁(T), f₂(T), f₃(T) ), (П1.13)

( f₁(T), f₂(T), f₃(T) ) dT = ( f₁(T)dT, f₂(T) dT, f₃(T) dT ), (П1.14)

· функция, зависящая от нечеткого параметра, является нечеткой.

П1.8. Вероятностное распределение с нечеткими параметрами

Пусть имеется квазистатистика и ее гистограмма и пусть одна из возможных плотностей вероятностной функции распределения, приближающая квазистатистику, обозначается нами как p(u, À), где u – значение носителя, u Î U, À = (x₁,…, x_N) - вектор параметров распределения размерностью N.

Произведем гипотетический эксперимент. Оценим вид функции распределения p(·), производя вариацию всех параметров вектора À. При этом зададимся критерием правдоподобия нашего распределения – унимодальной гладкой функцией без изломов и разрывов (например, квадратичной многомерной параболой) - и пронормируем значение критерия. Например, если максимум правдоподобия имеет значение L, то вектор параметров À приобретает значение, которое мы будем называть контрольной точкой или точкой ожидания с координатами (x_1L,…, x_NL) . Мы можем производить нормирование правдоподобия, задавшись некоторым процентом максимума правдоподобия, ниже которого наши вероятностные гипотезы бракуются. Тогда всем правдоподобным вероятностным гипотезам отвечает множество векторов À^’, которое в N-мерном фазовом пространстве представляет собой выпуклую область с нелинейными границами.

Впишем в эту область N-мерный параллелепипед максимального объема, грани которого сориентированы параллельно фазовым осям. Тогда этот параллелепипед представляет собой усечение À^’ и может быть описан набором интервальных диапазонов по каждой компоненте

À^’’ = (x₁₁, x₁₂; x₂₁, x₂₂;…x_N1, x_N2) Î À^’. (П1.15)

Назовем À^’’зоной предельного правдоподобия. Разумеется, контрольная точка попадает в эту зону , то есть выполняется

x₁₁ £ x_1L £ x₁₂,…, x_N1 £ x_NL £ x_N2, (П1.16)

что вытекает из унимодальности и гладкости критерия правдоподобия.

Тогда мы можем рассматривать числа (x_i1, x_iL, x_i2) как треугольные нечеткие параметры плотности распределения, которая и сама в этом случае имеет вид нечеткой функции. А зона предельного правдоподобия тогда есть не что иное, как нечеткий вектор.

Мы видим, что полученное вероятностное распределение имеет не только частотный, но и субъективный смысл, так как зона предельного правдоподобия зависит от того, как мы бракуем вероятностные гипотезы. Представляется, что такое описание всецело отвечает природе квазистатистики, как мы ее здесь вводим. Чем хуже условия для выдвижения правдоподобных вероятностных гипотез, чем тяжелее обосновывать такое правдоподобие, - тем большее значение занимает фактор экспертной оценки. То вероятностное описание, что мы имеем в итоге, - это гибрид, который обещает быть плодотворным.

В качестве примера можно рассмотреть нормальный закон распределения с нечетким среднеквадратическим отклонением (рис. П1.5). Эта нечеткая функция не имеет полосового вида. И тут замое время заметить, что функция с треугольными нечеткими параметрами в общем случае сама не является треугольной и к треугольному виду не приводится.

Рис. П1.5. Нормальный закон распределения с нечетким среднеквадратическим отклонением

Зато выполняется нормировочное условие:

, (П1.17)

где правая часть представляет собой нечеткое число с вырожденной в точку функцией принадлежности. Интеграл же, не определенный для не четких функций общего вида, представляет здесь предел сумм

(П1.18)

Приложим все сказанное к нечеткой оценке параметров доходности и риска фондового индекса. Пусть у нас есть квазистатистика доходностей (r₁, …r_N) мощности N и соответствующая ей гистограмма (n₁,...,n_M) мощности M. Для этой квазистатистики мы подбираем двупараметрическое нормальное распределение j(·) с матожиданием m и дисперсией s, руководствуясь критерием правдоподобия