Если значения функции z=f(x,y) известны в вершинах прямоу-гольника a£ х£ b, c£ y£ d : z1= f(a,c), z2= f(b,c), z3= f(b,d), z4= f(a,d), то в любой точке (x,y) этого прямоугольника значения функции z=f(x,y) могут быть найдены по следующей формуле (hx = b - a, hy = d - c):
7
Для получения координат точек изотерм можно применить фор-мулы линейной интерполяции. Пусть в двух соседних узлах сетки
(x1,y1) и (x2,y2) известны значения температуры Т1 и Т2. Если необходимо найти координаты точки c заданной температурой T0
min(Т1,Т2)£T0£ max(Т1,Т2),
то можно воспользоваться формулами
Для рассматриваемой области (рис. 2) координаты изотермы T0=2 будут равны: (0;2), (0,5;1), (1;0,5), (2;0).
Для решения поставленной задачи можно применить метод конечных элементов (МКЭ), который впервые был применен для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных в середине 50-х годов ХХ столетия и с тех пор завоевал широкую популярность. Основная идея МКЭ состоит в том, что область расчета делится на конечное число элементов произвольной геометрической формы, и для каждого элемента рассматриваются так называемые базисные функции ai , принимающие значения, равные 1 в i - м узле элемента и нулевые во всех других узлах.
Тогда значение искомой функции внутри элемента выражается через узловые неизвестные в виде
Наиболее распространенными конечными элементами для двумерных задач являются треугольные элементы (рис.1) с линейными базисными функциями (S - площадь треугольника):
Положительное значение площади S обеспечивается нумерацией вершин треугольника против часовой стрелки.
8
Рис. 3. Треугольный и прямоугольный конечные элементы
Пусть область расчета D c границей Г покрыта треугольными элементами. Вершины, расположенные внутри области, определяют узловые неизвестные. Для их определения составляют систему линейных уравнений:
где u j - значения искомой функции в узле j, а коэффициенты
Внутреннее суммирование в системе уравнений (3) ведется по всем внутренним узлам, принадлежащим k-му элементу, а внешнее - по всем элементам, содержащим узел j. В рассматриваемой системе уравнений число узловых неизвестных равно числу уравнений. Для треугольных элементов
Невозможно дать общие рекомендации по триангуляции произвольной области. Существуют различные способы повышения точности при использовании МКЭ. Один из них - использование нелинейных конечных элементов и элементов специального вида для более точной аппроксимации границы области расчета и искомой функции.
Для прямоугольного конечного элемента (рис.3) могут быть построены нелинейные базисные функции
9
Коэффициенты системы МКЭ для прямоугольного элемента можно получить из интеграла (4).
МКЭ является одним из наиболее эффективных численных методов решения краевых задач, но, как и любой метод, он имеет свои недостатки. Так, точность полученных результатов зависит от триангуляции области. Количество выбранных треугольников, их вид и расположение могут влиять на точность получаемых решений. Особенно это относится к решению краевых задач в областях с угловыми точками.
3. ОФОРМЛЕНИЕ ПОЯСНИТЕЛЬНОЙ ЗАПИСКИ
Каждый студент получает индивидуальное задание, в котором указывается тема работы: “Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа” и ее этапы выполнения:
- составление системы линейных уравнений, аппроксимирующих уравнение Лапласа в области многоугольника, заданного координатами вершин с известным распределением температуры вдоль его сторон;
- нахождение узловых неизвестных и вычисление максимальной относительной погрешности полученных результатов;
- построение семейства изотерм в расчетной области.
Задание утверждается заведующим кафедрой МИСТ и подписывается руководителем курсовой работы. На бланке указываются дата получения задания и срок выполнения работы.
Содержание курсовой работы излагается в пояснительной записке, где в лаконичной форме должна быть раскрыта суть выполняемой работы. В ней должны быть следующие разделы: введение, описание метода решения задачи, расчетная часть, анализ полученных результатов, список использованной литературы, листинг разработанной программы.
Оформление пояснительной записки выполняется с помощью любого текстового редактора. Объем работы 10-15 страниц машинописного текста.
10
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллипти- ческих уравнений. -М.: Наука. Физматлит. 1976.
2. Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной
математике. -М.: Высшая школа. 1990.
3. С.Фарлоу. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: Пер.с англ. - М.: Мир. 1985.
4. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. -М.: Высшая школа. 1983.
5. Копчёнова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. -М.: Наука. 1972.
6. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. -М.: Мир.1982.
7. Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.: Наука. 1983.
8. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений / Пер. с англ. -М.:Мир. 1980.
9. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие. -М.: Высш. шк. 1994.
11
Учебно-практическое издание
Методические указания и задания к лабораторным работам
по дисциплине «Численные методы»
Составитель Бондаренко Александр Иванович
|
Редактор И.И. Кузнецова
Темплан 2008г. Подписано в печать 14.01.2008 г.
Формат 60х841/16. Бумага офсетная. Ризография.
Усл.-печ.л. 0,7. Уч.-изд. л. 0,75. Тираж 50 .
|
Южно-Российский государственный технический университет
Адрес ун-та: 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132
Шахтинский институт (филиал) ЮРГТУ (НПИ)
Адрес ин-та: 346500, г. Шахты, пл. Ленина, 1