П. л чебышев (стр. 2 из 3)

Чебышёв написал по теории вероятностей всего 4 работы (1845, 1846, 1867, 1887 гг.), но, по всеобщему признанию, именно эти работы вывели теорию вероятностей снова в ранг математических наук, послужили основой для создания новой математической школы. Исходные позиции Чебышёва проявились уже в его магистерской диссертации. Он ставил перед собой цель дать такое построение теории вероятностей, которое в наименьшей степени привлекало бы аппарат математического анализа. Этого он достигал, отказываясь от предельных переходов и заменяя их системами неравенств, в которых заключены все соотношения. Числовые оценки отклонений и погрешностей остались характерными особенностями и последующих работ Чебышёва по теории вероятностей.

Однако достаточно общее и строгое доказательство центральной предельной теоремы Чебышёву удалось найти только к 1887 году. Для ее доказательства Чебышёву пришлось найти метод, известный в современной литературе как метод моментов. Доказательство Чебышёва имело логический пробел, устраненный учеником Чебышева А. А. Марковым (1856-1922).Марков и другой ученик Чебышёва, А. М. Ляпунов (1857-1918), своими работами настолько далеко развили идеи учителя, что, по словам А. Н. Колмогорова, теперь их работы всюду воспринимаются как исходный пункт всего дальнейшего развития теории вероятностей, не исключая современного. В их трудах получили развитие метод моментов (Марков) и метод характеристических функций (Ляпунов). Особенно заслуживает того, чтобы быть отмеченной, теория марковских цепей.

Теория приближения функций.

Значительное место в трудах Чебышёва занимает теория приближения функций. Эта группа работ примечательна большим теоретическим последствием, которое привело к возникновению современной конструктивной теории функций. Последняя изучает, как известно, зависимости между свойствами различных классов функций и характером их приближения другими, более простыми функциями в конечной или неограниченной области.

Во время заграничной научной командировки 1852 года Чебышёв заинтересовался различными видами шарнирных механизмов, с помощью которых осуществляется преобразование прямолинейного поступательного движения поршня паровой машины в круговое движение маховика (или наоборот). Одной из разновидностей подобных механизмов является широко известный параллелограмм Watt’а.

Чебышёв за свою жизнь построил много механизмов и исследовал их кинематику. Возникающие при этом экстремальные задачи (типа расчета механизма с минимальным отклонением какой-то его части от вертикали) приводят к математическим задачам теории приближения функций. Наиболее удобной для оперирования в математике функцией является полином. Отсюда вытекают задачи определения полиномов, уклоняющихся от нуля, а также аппроксимирования функций полиномами (1854, «Теория механизмов, известных под названиями параллелограммов»).

Рассмотрим, например, такую задачу: среди всех многочленов фиксированной степени со старшим коэффициентом, равным 1, найти многочлен с минимумом максимума модуля на отрезке [-1,1].

Решение: это многочлен Чебышёва Pn = cos(n arccos x)/(2n-1). То, что старший коэффициент его равен 1 (и вообще — что это многочлен) следует из рекуррентной формулы Pn+1(x)= x Pn(x)-1/4 Pn-1(x),а то, что он имеет минимум максимума модуля, - оценивая количество перемен знака — а, следовательно, и корней — у многочлена Pn(x)-Q(x), где Q(x) — многочлен с максимальным значением модуля l/2n-1, l<1.

Чебышёв нашел вид класса специальных полиномов, носящих его имя и в наши дни. Полиномы Чебышёва, Чебышёва - Лагерра, Чебышёва - Эрмита и их разновидности играют большую роль в математике и в разнообразных приложениях. Чебышевская теория наилучшего приближения функций полиномами прилагается к геодезическим и картографическим задачам (1856, «О построении географических карт»), приближенным квадратурам, интерполяциям, решению алгебраических уравнений, не говоря уже о кинематике механизмов, послужившей ее исходным пунктом. В рассматриваемой теории Чебышева содержатся идеи общей теории ортогональных многочленов, теории моментов и методов квадратур. Ортогональные многочлены Чебышев связал с методом наименьших квадратов.

Учёная деятельность Чебышева

Чебышев оставил глубокий и яркий след в развитии математики, дал толчок созданию и развитию многих ее разделов, как собственными исследованиями, так и постановкой соответствующих вопросов перед молодыми учеными. Так, по его совету А. М. Ляпунов начал цикл исследований по теории фигур равновесия вращающейся жидкости, частицы которой притягиваются по закону всемирного тяготения. Разумеется, научные интересы петербургских математиков, да и самого Чебышева, были гораздо шире. Из неупомянутых в реферате областей математики наиболее интенсивно велись работы над проблемами теории дифференциальных уравнений (Ляпунов, Имшенецкий, Сонин и др.) и теории функций комплексного переменного (в особенности Сохоцкий).

Петербургская математика к началу нашего века являлась широкой ассоциацией многих научных направлений. Они оказывали и оказывают значительное воздействие на развитие математики в нашей стране и за рубежом. Связи с другими научными объединениями, в особенности в последнее время настолько закрепились, а научные интересы настолько переплелись, что термин «Петербургская математическая школа» потерял свой обособляющий смысл.

В 1867 году во II томе «Московского Математического Сборника» появился другой весьма замечательный мемуар Чебышева «О средних величинах», в котором дана теорема, лежащая в основе различных вопросов теории вероятностей и заключающая в себе знаменитую теорему Якова Бернулли как частный случай.

Этих двух работ было бы достаточно, чтобы увековечить имя Чебышева. По интегральному исчислению особенно замечателен мемуар 1860 года в котором для заданного многочлена x4 + αx3 + βx2 + γx + δ с рациональными коэффициентами даётся алгоритм определения такого числа A, что выражение

интегрировалось в логарифмах, и вычисления соответствующего интеграла.

Наиболее оригинальными, как по сущности вопроса, так и по методу решения, являются работы Чебышева «О функциях, наименее уклоняющихся от нуля». Важнейший из этих мемуаров — мемуар 1857 года под заглавием «Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions» (На вопрос о минимальных стандартов, которые относятся к приближенное представление о функции ).

(в «Мем. Акад. Наук»). Профессор Клейн в своих лекциях, прочитанных в Гёттингенском университете в 1901 году, называл этот мемуар «удивительным» (wunderbar). Его содержание вошло в классическое сочинение I. Bertrand Traité du Calcul diff. et integral. В связи с этими же вопросами находится и работа Чебышева «О черчении географических карт». Этот цикл работ считается основанием теории приближений. В связи с вопросами «о функциях, наименее уклоняющихся от нуля», находятся и работы Чебышева по практической механике, которой он занимался много и с большой любовью.

Также замечательны работы Чебышева об интерполировании в которых он даёт новые формулы, важные как в теоретическом, так и практическом отношениях.

Одним из любимых приёмов Чебышёва, которым он особенно часто пользовался, было приложение свойств алгебраических непрерывных дробей к различным вопросам анализа.

К работам последнего периода деятельности Чебышева относятся исследования «О предельных значениях интегралов» («Sur les valeurs limites des intégrales», 1873). Совершенно новые вопросы, поставленные здесь Чебышевым, разрабатывались затем его учениками. Последний мемуар Чебышева 1895 года относится к той же области.

Общественная деятельность Чебышева не исчерпывалась его профессурой и участием в делах Академии наук. В качестве члена Ученого комитета Министерства просвещения он рецензировал учебники, составлял программы и инструкции для начальных и средних школ. Он был одним из организаторов Московского математического общества и первого в России математического журнала — «Математический сборник».

В течение сорока лет Чебышев принимал активное участие в работе военного артиллерийского ведомства и работал над усовершенствованием дальнобойности и точности артиллерийской стрельбы. В курсах баллистики до наших дней сохранилась формула Чебышева для вычисления дальности полета снаряда. Своими трудами Чебышев оказал большое влияние на развитие русской артиллерийской науки.

Опираясь на традиции петербургской математической школы, ленинградские ученые плодотворно работали во многих областях математики и механики. Теория функций комплексного переменного и теория дифференциальных уравнений получили развитие в трудах В. И. Смирнова. Настольной книгой студентов естественно-научных и технических вузов стал созданный В. И. Смирновым пятитомный «Курс высшей математики». Значительный вклад в теорию чисел внес ученик Я. В. Успенского И. М. Виноградов. Работы А. Д. Александрова были посвящены проблемам геометрии и топологии, Н. М. Гюнтера и С. Л. Соболева — задачам математической физики. Крупнейшие достижения в предвоенный период были получены в различных областях физики. Усилия многих физиков были сконцентрированы на проблеме физики атомного ядра. В 1932 г. Д. Д. Иваненко разработал протоннейтронную модель ядра. Г. Н. Флеров и Ю. Б. Харитон выполнили в 1939 г. классические работы по цепной реакции деления урана. В ФТИ работами по физике ядра руководил И. В. Курчатов. Накануне войны И. В. Курчатов и А. И. Алиханов трудились над созданием 100-тонного циклотрона, пуск которого намечался на 1942 г. (первый в Европе циклотрон начал работать в Радиевом институте в Ленинграде). В 1940 г. в Ленинграде была организована Академическая комиссия по урановой проблеме. Развитие ядерной физики в Физико-техническом институте протекало не безоблачно: А. Ф. Иоффе и его институт подвергся жесткой критике за увлечение фундаментальными исследованиями, отрыв от производства. Физика ядра была одним из направ-лений, подвергшихся нападкам.