Лекционный комплекс и Методические рекомендации по изучению дисциплины а основные понятия и термины по Курсу (стр. 4 из 8)

имеет смысл среднего значения отклонения (возмущения) потенциальной энергии электрона, возникающего при сближении атомов.

Для простой кубической решетки, учитывая перекрытие волновой функции

в простейшем случае только с волновыми функциями 6-ти ближайших атомов, находящихся на расстоянии а_j, обменный интеграл J приобретает вид:

В записанной сумме интегралы одинаковы для всех ближайших атомов. Обозначая их величину буквой А, получим выражение для энергии электрона в периодическом поле кубической решетки

В осях x,y,z, направленных по ребрам куба, выражение для энергии принимает вид:

Возмущение энергии

всегда отрицательно, так как потенциальная энергия электронов в кристалле ниже, чем в изолированном атоме. Но знак А не обязательно отрицательный, поскольку знак обменного интеграла зависит еще и от знаков волновых функций в области перекрытия.

Для

-состояний знаки обеих функций и положительны, а, поскольку , то .Для -состояний в области перекрытия, волновые функции и имеют, в основном, противоположные знаки и .

Законы дисперсии для s- и p -электронов, соответственно, будут иметь следующий вид:

Анализ зависимостей показывает, что внутри зон энергия электрона периодически зависит от волнового вектора k (а значит и от импульса

). Ширина i-ой зоны для кубической решетки:

задания для самоконтроля:

1) Металлическое состояние

2) Ковалентные направленные связи

3) Определение энергетической зоны

4) Величина энергетической зоны

5) Смысл обменного интеграла

6)

Литература: [1-12], ДЛ [1-12]

Занятие 8

Тема лекции: Следствия, вытекающие из зонной структуры

Цель лекции: рАССМОТРЕТЬ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЕ ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ЗОННОЙ ТЕОРИИ

Вопросы к лекции:

1 Скорость и масса электрона в зоне

2 Зонная структура

Тезисы лекционного занятия:

Скорость электрона вблизи экстремума связана с его импульсом тензором эффективных масс следующим образом:

Поэтому в общем случае векторы скорости V и квазиимпульса p не совпадают друг с другом по направлению, кроме случая сферической симметрии изоэнергетических поверхностей. При этом вектор скорости всегда направлен по нормали к изоэнергетической поверхности, так как является градиентом энергии в p-пространстве (

).

Обратная эффективная масса

определяет кривизну зависимости .

Вблизи минимума энергии, у дна зоны, где

и , электрон ведет себя как отрицательно заряженная частица с положительной эффективной массой. Скорость движения электрона совпадает по направлению с квазиимпульсом. У потолка энергетической зоны, где и , скорость электрона направлена против квазиимпульса, если его отсчитывать от потолка зоны ( ), как показано на рисунке 32в.

Следует отметить, что в аналитическом виде выражения для закона дисперсии и эффективной массы можно получить только вблизи экстремумов энергии в зоне, где справедливо разложение энергии в ряд Тейлора до квадратичного члена.

Электронная зонная структура металлов, полупроводников, диэлектриков.

Определим валентную зону как наивысшую энергетическую зону в твердом теле, которая целиком заполнена электронами в основном состоянии (при Т=0), зону проводимости - как самую нижнюю энергетическую зону в твердом теле, которая содержит свободные уровни в основном состоянии (незаполненную или содержащую некоторое число носителей при Т=0).

Рассмотрим случай, когда зона проводимости отделена от валентной зоны энергетической щелью E_g (рис.33). Пусть при Т=0 все состояния в зоне проводимости свободны, а в валентной зоне полностью заполнены электронами. В таком кристалле требуется конечная энергия возбуждения, больше ширины запрещенной зоны E_g, для перевода электронов вверх через энергетическую щель в зону проводимости. Если ширина запрещенной зоны

E_g велика, так что ни температура, ни постоянное электрическое поле (и другие воздействия, которые не разрушают твердое тело) не могут сообщить электронам достаточную энергию для перехода в зону проводимости, то такое твердое тело не проводит электрический ток и является изолятором.

Если ширина запрещенной щели E_g невелика, то при конечной температуре T в результате тепловых флуктуаций некоторое число электронов, определяемое характерным больцмановским множителем

, перейдет из валентной зоны в зону проводимости. Как электроны в зоне проводимости, так и дырки (свободные, незаполненные состояния), образовавшиеся в результате ухода электронов из валентной зоны, будут являться носителями тока и будут давать свой вклад в величину проводимости. Вещества с таким энергетическим спектром обладают конечной электропроводностью, быстро возрастающей с ростом температуры, называются полупроводниками.

Удельное электросопротивление полупроводников при комнатной температуре лежит в интервале от 10^-6 до 10⁸ ом*м. По величине сопротивления они находятся между хорошими проводниками

ом*м и изоляторами (>10⁸ ом*м).

Если зона проводимости заполнена не полностью и электронов достаточно много, то концентрация носителей тока не будет зависеть от температуры. Такие вещества являются металлами.

Во введении было показано, что энергетический спектр электронов в кристалле является дискретным. Однако, поскольку кванты импульса и энергии очень малы, то спектр является фактически квазинепрерывным. Несмотря на это наличие дискретности импульса (и энергии) имеет важное значение, так как определяет конечное (и одинаковое) число электронных состояний в каждой энергетической зоне.

Число элементарных квантовых состояний в каждой энергетической зоне равно удвоенному за счет спина числу элементарных ячеек в кристалле

. Для кубического кристалла (W - объем кристалла, а - период). Число состояний в зоне Бриллюэна с учетом спина равно удвоенному отношению объема зоны к величине элементарного квантового объема :

Если известно число атомов, приходящихся на элементарную ячейку

и их валентность z, то число электронов, приходящихся на элементарную ячейку , и полное число электронов равны, соответственно,