Г. П. Прокопов Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток (стр. 2 из 10)
Согласно теории вариационного исчисления для функционалов с подынтегральной частью
, зависящей только от первых производных искомых функций, уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид:(1.12)
.Поэтому для функционала (1.10)-(1.11) эти уравнения будут следующими:
(1.13)
,если элементы
матрицы G, нормированные согласно (1.7), являются функциями независимых переменных ξ,η.Для функционала (1.1) уравнения (1.12) будут иметь гораздо более сложный вид. Это очевидно хотя бы из сравнения соответствующих уравнений для гораздо более простого случая гармонических отображений (1.9). Пока нам нет необходимости выписывать уравнения (1.12) для функционала (1.1), это будет сделано позже в § 5.
1.3. Между функционалами (1.1) и (1.10)-(1.11) существует теснейшая связь. Рассмотрим случай, когда в результате минимизации функционала (1.1) достигается его абсолютный минимум F=1. Примером такой ситуации является рассмотренная в разделе 1.1. с назначением величин G11, G22, G12 формулами (1.5). Очевидно, что в таких ситуациях минимизация функционала (1.10)-(1.11) достигается на том же (важно!) невырожденном отображении и абсолютный минимум функционала (1.10)-(1.11)
(1.14)
,где S – площадь области W. Между тем получение искомого решения с помощью (1.10)-(1.11) несомненно проще и экономнее, чем с помощью (1.1).
Ситуация существенно изменяется в случае, если в процессе минимизации абсолютный минимум функционала не достигается. Тогда минимумы функционалов (1.1) и (1.10)-(1.11) реализуются, как правило, на разных отображениях. Несомненным преимуществом функционала (1.1) является то, что он гарантирует получение невырожденного отображения (другие просто не рассматриваются в качестве допустимых функций при его реализации). Подчеркнем, что это последнее замечание является предметом специальной заботы при численной реализации алгоритма минимизации функционала (1.1).
Недостаток функционала (1.10)-(1.11) – то, что его минимизация может приводить к получению отображения вырожденного (с якобианом, обращающимся в нуль в некоторых точках квадрата Q).
1.4. Подтверждением последнего утверждения является пример отображения, построенный автором и впервые опубликованный в [7]. Для дальнейшего полезно его кратко изложить.
Рассмотрим отображение, описываемое формулами:
(1.15)
, 
на квадрате Q:{0≤ξ≤1, 0≤η≤1}. Очевидно, что оно удовлетворяет уравнениям Лапласа:
(1.16)
, 
,и, следовательно, минимизирует интеграл Дирихле, который получается при назначении в (1.11)
, 
. Легко видеть, что уравне-ния (1.13) тогда превращаются в (1.16). Якобиан отображения (1.15)(1.17)
Поскольку
на участке h=0, 
, отображение образует складку в окрестности образа нижней границы квадрата Q. Пример (1.15) интересен тем, что форма области W, ограничиваемой образом контура квадрата Q, имеет очень простой вид.Ввиду важности этого примера в методическом плане заметим еще следующее. Наибольшая глубина проникновения области складки в квадрат Q получается при x=1/2 и достигает координаты
, определяемой условием 
. Из него получается 
. Следовательно, отображение (1.15) невырождено на прямоугольнике («урезанном квадрате») Q0: (0£x£1, h0<h£1), а складка занимает часть «полоски» 0£h£h0. Можно поступить иначе: если в (1.15) заменить h на (h-h0)/(1-h0), то получится отображение, которое будет невырождено на всем параметрическом квадрате Q, но будет вырождаться (образуя складку) на прямоугольнике 0£x£1, -h0/(1-h0)£h£1.Отмеченный выше недостаток функционала (1.10)-(1.11), что в процессе минимизации он может приводить к вырожденному отображению, может превращаться в его большое преимущество. Для практики расчета сеток очень трудной является ситуация, когда не удается имеющимися в распоряжении исполнителя средствами получить невырожденное начальное приближение для сетки (например, в силу сложной формы границ области уже в исходный момент расчета). Способность функционала (1.10)-(1.11) работать с вырожденными отображениями становится его очевидным достоинством в случае, если в итоге минимизации получится отображение невырожденное (возможность таких ситуаций очевидна). Тогда это путь преодоления описанных трудностей, причем средствами, имеющимися в распоряжении исполнителя. Следует однако иметь в виду, что возможно и обратное, т.е. описанный прием не является надежным и может не давать положительного результата даже в относительно простых ситуациях, о чем и свидетельствует приведенный пример (1.15).
1.5. Уместно отметить также относительно недавнее появление работы [6], в которой рассматривался вариационный функционал вида:
(1.18)
,похожий на (1.1), но отличающийся от него. Для этого функционала утверждается, что «решение задачи построения допустимого приближения может быть резко упрощено, если заменить исходный функционал на регуляризованный, дискретный аналог которого был бы близок дискретному аналогу исходного функционала в допустимой области, являлся бы бесконечно дифференцируемой функцией от своих аргументов и стремился бы к +¥ по мере удаления от допустимого множества». Согласно работе [6], эта цель достигается, если в знаменателе функционала заменить якобиан J искомого отображения на величину
(1.19)
,где e - некоторый малый параметр (e<<1).
Однако и минимизация регуляризованного функционала сталкивается с серьезными трудностями, связанными с неединственностью решения. Вопрос о неединственности будет предметом обсуждения в § 6.
§ 2. Об ортогональных, квазиортогональных и квазиизометрических сетках.
2.1. Предлагая, как уже упоминалось, в [3] и затем в [4], вариационный функционал (1.10)-(1.11), авторы сопровождали его тождеством, в котором легко убедиться непосредственной проверкой:
(2.1)
,где
(2.2)
,
,а величина w (0<w<p) определяется формулой:
(2.3)
Из (2.1) очевидно следует, что для Е, определенной формулой (1.3), выполнено неравенство Е³1.
Рассмотрим случай, когда в процессе минимизации достигается абсолютный минимум функционала (1.10)-(1.11), равный площади S области W. Тогда искомые функции x(ξ,η), y(ξ,η), его реализующие, удовлетворяют уравнениям А=0, В=0. Последние могут быть записаны так:
(2.4)
.Они известны в теории квазиконформных отображений как уравнения Бельтрами.
Обратимся еще раз к примеру отображения (1.15). Поскольку оно получено при
, 
, уравнения (2.4) приобретают вид:(2.5)
, 
,что соответствует классическому конформному отображению. Очевидно, что (1.15) таковым не является (заметим, что оно так и задумывалось в работе [7]):