Г. П. Прокопов Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток (стр. 3 из 10)
, h¹h+1/2.Следовательно, приведенный пример иллюстрирует ситуацию, когда абсолютная минимизация функционала не достигается.
Любопытно отметить следующее обстоятельство. Если для отображения (1.15) кропотливо вычислить величины G11, G22, G12 по формулам (1.5) и проверить уравнения (2.4) с этими метрическими параметрами, то оказывается, что уравнения (2.4) будут выполнены! Причем не только на прямоугольнике Q0, упомянутом в разделе 1.4., где отображение (1.15) невырождено, а и на полном параметрическом квадрате Q, но с одной существенной оговоркой: в качестве величины
при нормировке (1.7) берется 
, вычислен-ная по формуле (1.17). Между тем должно быть 
. Если бы отображение (1.15) было невырожденным, это не имело бы значения, так как 
. Однако это не так из-за упомянутой складки отображения. Причина невыполнения уравнений (2.5) в случае 
, 
будет обсуждаться ниже в разделе 2.5.2.2. Особый интерес для практики расчетов представляют сетки, порождаемые ортогональными отображениями, удовлетворяющими условию:
(2.6)
.Предполагая, что такое отображение существует и невырождено, подставим выражения (2.4), которым оно должно удовлетворять, в условие (2.6). После несложных выкладок будем иметь:
Поскольку матрица
является положительно определенной, 
, за исключением тривиального случая 
.Следовательно, для выполнения условия g12=0 необходимо, чтобы
. Таким образом, минимизация функционалов (1.1) или (1.10)-(1.11) дает ортогональную сетку только в случае, если 
.
Необходимое условие однако не является достаточным. Об этом свидетельствует хотя бы рассмотренный пример отображения (1.15).
2.3. При
уравнения (2.4) приобретают вид:(2.7)
, 
.Отсюда получаются формулы для назначения величин
и 
:(2.8)
, 
.Чтобы преодолеть противоречия или даже аварийные ситуации (например, если окажется, что предполагаемое ортогональное отображение не существует), а также обеспечить выполнение условий (1.8), будем реализовать формулы (2.8) в модифицированном виде:
(2.9)
Здесь e0 – некоторый управляющий параметр, задающий уровень «срезания» величин
, 
. Нормировка (1.7), если делается, то после (2.9).2.4. В случае назначения
вид функционалов (1.1) и (1.10)-(1.11), естественно, упрощается. Формулы для плотности энергии отображения (1.11) и (1.3) приобретают вид (нормировка (1.7) не обязательна):(2.10)
В свою очередь, если метрические параметры назначаются формулами (1.5), формулы (2.10) приобретают вид:
(2.11)
(2.12)
Попытка использовать для построения сеток вариационный функционал с подынтегральным выражением (2.11) предпринималась автором еще в работе [9] и представлена на стр.234-235 монографии [4]. Вопросы применения для построения сеток формул (2.11)-(2.12) и их обобщений обсуждались в [8]. Обобщение формул (2.11)-(2.12) состояло в использовании в качестве величины Е степеней полученных выражений. Это делалось в интересах практики расчетов с целью обеспечения большего разнообразия конструируемых сеток.
В связи с этим заслуживает быть отмеченным следующее обстоятельство. Назначим в функционале (1.1) метрические параметры формулами:
(2.13)
, 
, 
Тогда для плотности энергии отображения Е с учетом тождества (1.6) получим:
.Поскольку слагаемое –1 при минимизации не играет роли, также как и сомножитель 2, получаем для Е формулу:
(2.14)
,которая представляет квадрат выписанной в (2.12). Функционал такого вида исследовался в работе [10] и было установлено, что возникающая при этом задача является некорректной. Это подтверждается и числен-ными экспериментами. Поэтому функционал с (2.14) для построения сеток использовался не в «чистом» виде, а в комбинации с функциона-лами другого целевого назначения. В упомянутой работе [8] был избран другой путь преодоления некорректного характера задачи, условно названный автором регуляризацией функционалов. Некоторые результа-ты численных экспериментов по его реализации представлены в [11].
2.5. Осторожные оговорки о предполагаемом существовании ортогонального отображения имеют под собой глубокие основания. Фактически при дискретной реализации, изложение которой будет сделано в следующем параграфе, можно рассчитывать в лучшем случае на получение сетки, лишь в некотором смысле близкой к ортогональной. Будем называть ее квазиортогональной.
Причин для этого несколько. Прежде всего отметим, что при дискретной реализации восполнение линий сетки обычно осуществляется отрезками прямых, соединяющих соседние узлы сетки, т.е. ломаными линиями. Поэтому, строго говоря, ортогональными являются только сетки, составленные из прямоугольных ячеек. Это – причина аппроксимационного характера, ослабевающая при увеличении числа интервалов сетки, выстраиваемой в области с зафиксированными границами.
Вторая причина – недоведение до сходимости итерационных процессов при реализации алгоритмов. Это дорого и нецелесообразно, поскольку вполне приемлемой для расчета может оказаться сетка, получаемая уже на ранней стадии расчета.
Наконец, наиболее глубокая математическая причина состоит в следующем. Как уже отмечалось, при решении задачи может не достигаться абсолютный минимум функционала. Это может случиться, например, по причине «застревания» итерационного процесса в некоторой локальной экстремальной точке.
Однако есть и более серьезная причина, обусловленная математической постановкой задачи. Как уже отмечалось для примера (1.15), при достижении абсолютного минимума вариационного функционала для решения должны быть выполнены уравнения (2.5) классического конформного отображения. Однако они не выполняются. Почему? Согласно известной теореме Римана при конформном отображении можно задавать соответствие только трех точек на контуре физической области и параметрического прообраза. Между тем заданием граничных условий задачи фиксируется определенное соответствие всех точек на контуре. Тем самым множество допустимых функций при минимизации функционала оказывается настолько узким, что не содержит решения задачи о конформном отображении. Между тем именно оно обеспечило бы абсолютную минимизацию функционала.
Можно было бы изменить постановку задачи, разрешив движение точкам на контуре физической области W. Отказ (в производственных интересах) от такой возможности автоматически влечет за собой отказ от ортогональной сетки (в дифференциальной постановке) в пользу «квазиортогональной». Исключение могут составить лишь благоприят-ные ситуации задания удачного соответствия граничных точек.
Изменение постановки задачи с движением точек на контуре физической области W может стать предметом специального обсуждения. Некоторый вариант ее реализации рассматривался на стр.20-23 работы [11].