Г. П. Прокопов Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток (стр. 4 из 10)
2.6. Как следует из изложенного выше, существует определенная принципиальная разница в ситуациях, когда в процессе минимизации вариационного функционала достигается его абсолютный минимум или этот минимум не достигается.
В дополнение, несколько опережая избранный порядок изложения, заметим, что в работе [2] для дискретного варианта функционала (1.1) доказано существование единственного решения в случае, если метрические параметры G11, G22, G12 обеспечивают его абсолютный минимум. Вопрос о единственности решения в случае, когда абсолютный минимум не достигается, остается открытым и, более того, подвергается серьезным сомнениям (см. ниже § 6).
Стремление выделить специальный класс квазиконформных отображений, для которого можно обосновать существование и единственность искомого отображения, для функционала вида (1.10)-(1.11) было реализовано в работе [12]. Описание численной реализации соответствующего алгоритма было опубликовано на стр. 237-241 монографии [4].
Продолжение этого направления исследований нашло отражение в ряде работ, в частности, в [13-14]. В них рассматриваются так называемые квазиизометрические отображения.
Отображение x(ξ,η), y(ξ,η) называется квазиизометрическим, если отношение расстояния между любыми (достаточно близкими) точками к расстоянию между их образами ограничено сверху и снизу:
.Отображение x(ξ,η), y(ξ,η) единичного квадрата Q на область W называется
-отображением, если частные производные 
непрерывны и удовлетворяют условию Гельдера с показателем m.Пусть четыре границы криволинейного четырехугольника W достаточно гладкие – удовлетворяют условию Гельдера с показателем m. Обозначим
величины углов, которые образуют пары соседних границ в вершинах W. Главный результат работы [13] состоит в следующем.Если выполнены условия:
, 
, 
,то любое квазиизометрическое
-отображение границ продолжается до квазиизометрического -отображения квадрата Q на область W.При этом метрика отображения выбирается из пятипараметрического семейства метрик специального вида, заданных в единичном квадрате. Они представляют общий вид метрик, в которых геодезическими являются прямые линии. В [13] доказано, что существует единственная метрика такого вида, в которой единичный квадрат К отображается в W конформно и квазиизометрически.
В работе [14] представлен алгоритм построения квазиизометрических сеток, основанный на этом результате. При его кратком описании придется в интересах сохранения наших обозначений, цитируя [14], поменять роли (u,v) и (x,y) и вместо аргументов (s,t) использовать обозначения (x,h). Искомое квазиизометрическое отображение х(x,h), у(x,h) конструируется как суперпозиция двух отображений: x=x(u,v), y=y(u,v) отображает единичный квадрат K:{0£u, v£1} на W; u=u(x,h), v=v(x,h) отображает квадрат Q на K.
Второе отображение можно представить геометрически как переход от равномерной сетки на Q к сетке на K, образованной прямолинейными отрезками. Они соединяют образы соответствующих граничных точек квадрата Q, находящихся на противоположных сторонах K. Отображение нижней и верхней сторон определяется функциями
, 
, а левой и правой - функциями 
, 
. Естественно, предполагаются выполненными условия согласования: 
, 
.Отображение x(u,v), y(u,v) квадрата K на область W минимизирует функционал вида (1.10)-(1.11), для которого метрика выбирается из упомянутого выше пятипараметрического семейства с параметрами S1 , S2 , S3 , S4 , k. Последний из них k представляет конформный модуль криволинейного четырехугольника W - отношение сторон прямоугольника, на который он может быть конформно отображен.
Искомые функции х(x,h), у(x,h), отображающие Q на W, получаются из условия минимума функционала, также имеющего вид (1.10)-(1.11), который минимизируется по трем группам переменных:
1о параметрам S1 , S2 , S3 , S4 , k ;
2о управляющим граничным функциям
, , , 
;3о функциям х(x,h), у(x,h).
Вычислительный алгоритм, реализующий указанные отображения, достаточно сложен, и его описание выходит за рамки настоящей работы.
§ 3. Переход к дискретной модели.
3.1. Следующим этапом работы по созданию алгоритмов расчета сеток является переход от дифференциальной формы вариационного функционала к дискретной. Мнение о том, что этот этап сводится к механической замене дифференциальных выражений разностными, является ошибочным. При такой замене могут быть утеряны важные свойства дифференциальной модели. Рассматриваемая задача может служить иллюстрацией такой ситуации.
Для того, чтобы правильно передать обращение в нуль якобиана отображения при разностной аппроксимации функционала (1.1), может быть использована специальная процедура, известная под названием вариационного барьерного метода. Она была разработана для расчета гармонических сеток, хорошо известна и многократно описана. Поэтому не будем на ней останавливаться. Изложим окончательный результат, представленный в работе [2], имеющий непосредственное отношение к функционалу (1.1), с некоторыми (более привычными для нас) изменениями (в основном – в обозначениях).
Рассматривается задача построения двумерной регулярной сетки
(3.1)
, 
, 
при заданных координатах граничных узлов
, 
, 
, 
на контуре, ограничивающем односвязную область W на плоскости (х,у).
Пусть координаты (х,у)n,m узлов сетки заданы (можно говорить о них, как о некотором исходном приближении для искомой сетки). Рассмотрим ячейку сетки и занумеруем вершины, обходя ее контур против часовой стрелки: узлу (n,m) присвоим номер k=1, узлу (n+1,m) - номер k=2, узлу (n+1,m+1) - k=3, узлу (n,m+1) - номер k=4. В последующих выражениях следует полагать k-1=4 при k=1 и k+1=1 при k=4.
Ячейке с такими вершинами обычно присваивают громоздкий «полуцелый» номер (n+1/2,m+1/2). Вместо этого условимся о присвоении ей менее громоздкого номера
, отмечая верхней чертой условное прибавление +1/2. Соответственно 
заменит номер(n-1/2,m-1/2) ,
- номер (n-1/2,m+1/2), наконец 
- номер (n+1/2,m-1/2).Дискретный аналог функционала (1.1) записывается тогда в виде:
(3.2)
,где
(3.3)
