Г. П. Прокопов Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток (стр. 5 из 10)
Будем предполагать, что все Jk>0 для всех ячеек сетки, т.е. все ячейки сетки – выпуклые четырехугольники. Такую сетку будем называть выпуклой (автор [2] называет ее невырожденной).
(G11, G12, G22)k - элементы симметричных положительно определенных матриц Gk, отнесенных к треугольнику с номером k в ячейке с номером
.Непосредственной проверкой можно убедиться в тождественном выполнении соотношения
(3.4)
,которое является разностным аналогом тождества (1.6). Если, в соответствии с (1.5), назначить элементы матриц Gk формулами:
(3.5)
, 
, 
,то оказывается, что
для всех k и всех ячеек сетки 
, 
.Следовательно, для заданной сетки (3.1) получаем по формулам (3.2) значение Fh=1, т.е. абсолютный минимум этой суммы, представляющей дискретный аналог функционала (1.1). Таким образом, задание элементов матриц G формулами (3.5) реализует заданную произвольным образом выпуклую (невырожденную) сетку (3.1) как решение задачи минимизации дискретного функционала Fh.
В работе [2] доказано, что сетка принадлежит к классу выпуклых (невырожденных) сеток тогда и только тогда, когда она минимизирует функционал (3.2) для некоторого набора положительно определенных и симметричных матриц Gk.
3.2. Аналогичный дискретный функционал можно было бы построить и для (1.10):
Но мы поступим иначе. Заменим в нем внутреннюю сумму для четырех треугольников одной ячейки одним слагаемым следующего вида:
(3.6)
Величины в правой части (3.6) будем вычислять без разбиения ячейки на треугольники по формулам, которые для краткости используют описанную выше нумерацию вершин ячейки:
,(3.7)
,где
.Для площади ячейки J* и площадей треугольников sk =Jk /2 имеем:
.Пусть jk – угол в вершине ячейки с номером k. Тогда
.Чтобы обеспечить выполнение тождества, аналогичного (3.4), определим величину
формулой:(3.8)
Заметим, что формула (3.8) определяет величину
только с точностью до знака. Однако этого будет достаточно при тех вариантах назначения G12 , которые рассматриваются ниже в § 4.Аппроксимируем функционал (1.10)-(1.11) суммой
(3.9)
Если назначить величины
(3.10)
, 
, 
и нормировать их:
(3.11)
, 
, 
,
то точно так же, как и ранее, оказывается, что
для всех ячеек сетки.Будем предполагать, что для заданной произвольной сетки все ячейки удовлетворяют требованию
. Заметим, что это требование более слабое, чем выпуклость всех ячеек, поскольку допускает присутствие невыпуклых ячеек, но при условии отсутствия ячеек самопересекающихся (у них пересекается одна из двух пар противоположных границ). Будем называть такую сетку несамопересекающейся.Полученный результат можно сформулировать так. Произвольно заданная несамопересекающаяся сетка (3.1) реализуется как решение задачи о минимизации дискретного функционала, описываемого формулами (3.6)-(3.9), если задать элементы матриц G* формулами (3.10)-(3.11).
Далее отметим, что поставленной цели тождественной передачи дифференциального соотношения (1.6) в разностной форме (3.4) легко было бы добиться и другим способом. Достаточно было бы назначить:
, 
(3.12)
, 
и далее вычислять g11, g22, g12 по их дифференциальным выражениям (1.2).
Предпочтение формулам (3.7)-(3.8) носит содержательный характер, поскольку обеспечивает получение лучшей формы для системы разностных уравнений, которые будут рассматриваться позднее в § 5.
3.3. Сделаем несколько замечаний о дискретизации задачи.
Во-первых, очевидно, что решение такой задачи для функционала (3.6)-(3.9) менее громоздко, чем для функционала (3.2)-(3.3). Во всяком случае при фиксированных матрицах G минимизация функционала (3.9), представляющего квадратичную форму от искомых координат узлов сетки, сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. В случае же функционала (3.2)-(3.3) даже при фиксированных матрицах G решать придется систему нелинейных уравнений из-за присутствия в знаменателе (3.2) величин Jk , моделирующих якобиан искомого отображения.
Во-вторых, минимизация функционала (3.2)-(3.3) осуществляется на множестве выпуклых сеток. Существование «выпуклого» решения при произвольном наборе фиксированных положительно определенных и симметричных матриц Gk доказано в [2]. Это доказательство использует наличие бесконечного барьера на границе класса выпуклых (невырожденных) сеток.
В отличие от этого минимизация функционала (3.6)-(3.9) осуществляется на множестве несамопересекающихся сеток. Естественно было бы ожидать, что искомое решение также будет несамопересекающейся сеткой. Однако наличие примера (1.15) обнаруживает, что это не всегда так. Как уже обсуждалось в разделе 1.3., это является, с одной стороны, недостатком, а с другой стороны – преимуществом дискретного функционала (3.6)-(3.9) перед дискретным функционалом (3.2)-(3.3).
Обратим внимание, что в знаменателе функционала (1.10)-(1.11) исчез якобиан искомого отображения, однако сохранился сомножитель
. Он присутствует в знаменателе формул (3.6). Это позволяет в ходе расчета не с фиксированными, а переменными матрицами G, позаботиться о создании для функционала (3.6)-(3.9) бесконечного барьера, аналогичного упомянутому выше для функционала (3.2)-(3.3). Требуется соответствующее назначение матриц G (этот вопрос будет обсуждаться в § 4) и организация итерационного процесса, при которой ячейки сохраняют несамопересекаемость. Тогда можно гарантировать, что минимум функционала (3.6)-(3.9) будет достигаться на сетке, которая не содержит самопересекающихся ячеек.§ 4. Назначение метрических параметров.
4.1. Универсальный характер функционалов (1.1) и (1.10)-(1.11), позволяющий после их дискретизации и решения соответствующей задачи минимизации в принципе получить любую невырожденную сетку, еще не исчерпывает проблемы построения двумерных сеток до тех пор, пока не даны конкретные рекомендации по назначению метрических параметров G11, G12, G22 . Формулы (1.5) позволяют лишь воспроизвести имеющуюся сетку, но никак не конструировать новую.
Для назначения метрических параметров G11, G12, G22 просматриваются два возможных пути. Первый состоит в том, чтобы по информации о расчетной области W, состоящей в задании положения узлов на ее граничном контуре, «сочинить» функции G11, G12, G22 от параметрических координат (x,h), позволяющие надеяться на получение приемлемой для исполнителя сетки при минимизации рассматриваемых функционалов.
Второй путь состоит в том, чтобы в должном направлении изменять локальные параметры G11, G12, G22 в ходе итерационного процесса, который неизбежно придется применить для осуществления минимизации функционала.
4.2. Начнем с первого пути. Пусть имеются четыре последовательности координат
(4.1)
, 
, 
,