Г. П. Прокопов Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток (стр. 6 из 10)
, 
, 
,задающие соответственно нижнюю, верхнюю, левую и правую границы области W. Они устанавливают соответствие (взаимно однозначное) с равномерно расставленными узлами на участках границы параметрического квадрата Q:
нижним (0£x£1, h=0), верхним (0£x£1, h=1),
левым (0£h£1, x=0) и правым (0£h£1, x=1).
С равным успехом можно было бы заменить квадрат Q прямоугольником номеров расчетных точек : 0£n£n*, 0£m£m* .
На стр. 181 монографии [4] описана процедура расчета вспомогательной последовательности
, приближенно передающей расстановку узлов по длине дуги для граничной последовательности 
:
, 
, 
и ее последующей нормировки
, 
.Обозначим
, 
, 
, 
суммарные вычисленные значения 
для каждой из четырех границ. Назначим значения 
, 
для нижней и верхней границ формулами:
и значения
, 
для левой и правой границ аналогичными формулами:
(Смысл написания индексов
был описан в разделе 3.1).Далее величины
, 
внутри квадрата вычисляются по интерполяционным формулам:(4.2)
В этих формулах
(4.3)
.Описанные формулы представляют один из возможных разнообразных вариантов интерполяционных формул. Он выбран в результате исследований [14] и при желании может быть заменен на другой. Определенных таким образом величин
и 
достаточно для реализации формул (2.10), ориентированных на получение «квазиортогональных» сеток, поскольку при этом предполагается, что G12=0.По-видимому, целесообразно этим и ограничиться. Дело в том, что для определения величин G12 в исходной информации об области W содержится возможность определения ее только в четырех угловых точках. В них смыкаются пары соседних границ.
Вычислим эти значения
, 
, 
, 
Расчетные формулы для них типа (3.3) или (3.8) опускаем ввиду их очевидности. По этим значениям можно было бы выписать интерполяционные формулы для всего квадрата Q. Естественно, что интерполировать следует не величину G12, а
или величину w. В противном случае трудно гарантировать выполнение условия положительной определенности матриц 
для вычисленных выше величин, полученных независимой интерполяцией. При интерполяции целесообразно использовать те же значения координат 
, представленные формулами (4.3). Соответствующие расчетные формулы для 
приводить не будем.Отметим, что в качестве еще одного примера реализации первого пути может рассматриваться содержащееся в работе [1] на стр. 1673-74 предложение задавать целевые формы ячеек, переходя от приграничных к ячейкам внутри области. Вполне возможно, что это предложение может быть доведено до автоматизированных алгоритмов, приемлемых для практики расчетов нестационарных задач.
4.3. Обратимся теперь ко второму пути назначения метрических параметров G11, G12, G22.
Очевидно, что для реализации алгоритма минимизации функционала придется прибегнуть к итерационному процессу. Исходной для очередной итерации является сетка, полученная на предыдущей, для первой итерации она получается, например, с помощью интерполяционных формул. Как уже отмечалось в разделе 1.4, получение начального приближения для сетки иногда может оказаться трудной задачей. Такая ситуация и способы ее преодоления обсуждались, в частности, в работе [16].
Как отмечается в уже упоминавшейся работе [6], при реализации барьерного вариационного метода основной проблемой оказывается «прохождение» барьера снаружи в случае, когда начальное приближение не принадлежит допустимому множеству.
Поэтому, например, с точки зрения решения нестационарных задач, представляется целесообразным отделить в качестве «наиболее нелинейной» части задачу попадания внутрь допустимого множества сеток на начальном шаге. А в дальнейшем естественно предполагать, что исходная сетка удовлетворяет нужным требованиям, а именно, состоит из выпуклых ячеек, если минимизируется функционал (3.2), или не содержит самопересекающихся ячеек, если минимизируется функционал (3.6)-(3.9). Результат новой итерации также должен удовлетворять этим требованиям. Этого можно достигать посредством назначения достаточно малого коэффициента «запаса» для сдвига узла сетки на итерации, который является одним из задаваемых управляющих параметров.
Заметим, что в случае функционала (3.6)-(3.9) это позволяет предотвратить появление самопересекающихся ячеек, хотя и не может препятствовать возможному ухудшению формы отдельных ячеек, вплоть до превращения их в треугольники вместо четырехугольной формы. Назревание такой ситуации может быть воспринято как «сигнал бедствия», требующий, например, изменения управляющих параметров или переход на алгоритм расчета более надежный, например, минимизацию функционала (3.2) вместо (3.6)-(3.9).
Стоит отметить, что наличие величин
и 
в знаменателе формул (2.10) может сыграть роль бесконечного барьера и предотвратить рассматриваемую ситуацию вырождения ячейки сетки аналогично тому, как это достигается для функционала (3.2) благодаря присутствию в знаменателе якобиана.В случае, если используется алгоритм, ориентированный на «квазиортогональные» сетки, вопрос о назначении метрических параметров G11, G12, G22 может решаться, например, с помощью дискретизации формул (2.9) для G11, G22 и назначения G12=0.
Чтобы «смягчить» приспосабливание алгоритма к ситуации, когда предполагаемое ортогональное отображение не существует или формулы (2.9) дают «плохой» результат по имеющемуся приближению для искомой сетки, целесообразно вместо (2.9) предусмотреть более общие формулы
,
,где p1 – управляющий параметр, 0<p1£1,
, 
- значения, вычисленные по формулам (2.9).В силу, как уже отмечалось, неопределенности требований, предъявляемых к сетке (кроме очевидного - невырожденности), конечно же, возможны и другие алгоритмы назначения параметров G11, G12, G22 .