Г. П. Прокопов Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток (стр. 1 из 10)
Ордена Ленина
Институт прикладной математики
имени М.В. Келдыша
Российской академии наук
Г.П. Прокопов
Универсальные вариационные функционалы
для построения двумерных сеток.
Москва, 2001 год
УДК 519.63
Универсальные вариационные функционалы для построения двумерных сеток.
Прокопов Г.П.
Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Рассматриваются функционалы, позволяющие получить произвольные невырожденные двумерные сетки при соответствующем назначении или определении в ходе расчета метрических параметров искомой сетки. Рассматриваются вопросы конструирования ортогональных или близких к ним сеток (квазиортогональных), построения дискретных моделей для расчета сеток, алгоритмов для метрических параметров и численного решения задачи минимизации функционалов.
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект № 99-01-00922).
Universal variational functionals for 2D grid generation.
G.P. Prokopov
Preprint, Keldysh Institute of Applied Mathematics, RAS
Functionals that allow to obtain arbitrary invertible 2D grids at corresponding assignment or definition of grid metric parameters during the calculation are considered. The generation of orthogonal grids or close to them quasi-orthogonal grids, construction of discrete models to compute grid, algorithms for metric parameters and numerical solution of problem of functional minimization are considered.
This work was supported by Grant 99-01-00922 from the Russian Foundation for Fundamental Investigations.
Содержание
стр.
Введение…………………………………………………………………. 3
§ 1. Описание вариационных функционалов………………………….. 4
§ 2. Об ортогональных, квазиортогональных и квазиизометрических
сетках………………………………………………………………… 9
§ 3. Переход к дискретной модели……………………………………... 16
§ 4. Назначение метрических параметров……………………………… 20
§ 5. О численных алгоритмах минимизации функционалов………….. 27
§ 6. Разнообразие форм универсальных функционалов и проблема
неединственности решения………………………………………… 31
Заключение………………………………………………………………. 34
Литература……………………………………………………………….. 35
Введение.
Вариационный подход к задаче построения сеток для численного решения разнообразных задач математической физики получил весьма широкое распространение. При таком подходе задача построения сетки в простейшем случае отдельного криволинейного четырехугольника трактуется как дискретная реализация невырожденного отображения параметрической области (квадрата или прямоугольника) на область, в которой требуется построить сетку. Это отображение получается в результате минимизации некоторого вариационного функционала. Неопределенность требований, предъявляемых к сеткам (за исключением одного – невырожденности), порождает большой поток работ, посвященных этим вопросам. Некоторая часть их предлагает различные формы для минимизируемых функционалов.
Совсем недавно одну из таких работ [1] опубликовал С.А. Иваненко и ознакомил автора настоящей статьи с другой своей работой, направленной для публикации. Эта работа [2] содержит принципиальный и важный для практики результат: предложенный в [1] вариационный функционал позволяет реализовать любую невырожденную сетку при соответствующем задании входящих в него параметров, т.е. функционал носит достаточно универсальный характер.
Это, конечно, еще не решает полностью проблему построения двумерных сеток, лишь подменяя ее задачей назначения или определе-ния в ходе расчета некоторых метрических параметров искомой сетки. Однако сам факт их существования и возможностей целенаправленного поиска имеет весьма существенное значение для практики.
Предложенный в [1] функционал почти совпадает с опубликованным еще в 1967 г. в совместной работе [3] С.К. Годунова и автора настоящей статьи. «Почти» означает присутствие в знаменателе функционала [1] дополнительного сомножителя – якобиана искомого отображения. Авторами [3] он был опущен сознательно, чтобы упростить вариационные уравнения Эйлера-Лагранжа для расчета искомой сетки.
Сравнение этих двух функционалов обнаруживает между ними теснейшую связь. Оказывается, функционал из работы [3] имеет столь же универсальный характер. Обсуждение различных связанных с этим вопросов, в первую очередь – о назначении или определении метрических параметров искомой сетки, составляет содержание настоящей работы.
§ 1. Описание вариационных функционалов.
В работе [1] для создания алгоритмов построения двумерных разностных сеток предложено использовать вариационный функционал следующего вида:
(1.1)
Здесь {Glm, l,m=1,2} – элементы симметричной, положительно определенной матрицы G(ξ,η), заданной в каждой точке единичного квадрата Q:{0≤ξ≤1, 0≤η≤1}. Функционал минимизируется на классе функций x(ξ,η), y(ξ,η), являющихся гладким продолжением внутрь квадрата Q заданных на его границе функций (хГ,уГ). Они осуществляют гладкое взаимно однозначное отображение границы квадрата Q на границу области Ω, в которой должна быть построена сетка.
Введем в рассмотрение симметричную и положительно определенную матрицу
с элементами(1.2)
, 
, 
.Подынтегральное выражение в (1.1) называется плотностью энергии отображения
(1.3)
.Следуя автору [1], его можно записать в виде
(1.4)
,где Tr означает сумму диагональных элементов матрицы,
λ1 и λ2 – собственные числа матрицы G-1g.
Из (1.4) следует, что Е≥1. Равенство Е=1 достигается тогда и только тогда, когда λ1 = λ2 . Это можно было бы доказать и непосредственной выкладкой, что и будет сделано несколько позже (см. формулы (2.1)-(2.3)).
Отметим некоторые свойства рассматриваемого функционала.
1.1. Пусть x(ξ,η), y(ξ,η) – произвольное гладкое невырожденное отображение параметрического квадрата Q на область W. Положим
(1.5)
, 
, 
и используем очевидное тождество:
(1.6)
.Тогда обнаруживаем, что для отображения с такими метрическими параметрами Еº1, F=1, т.е. получаем абсолютное минимальное значение функционала (1.1).
Следовательно, произвольное гладкое невырожденное отображение может быть реализовано как решение задачи минимизации функционала (1.1) с некоторой конкретной матрицей G(ξ,η). Этот факт отмечается в работе [2]. Функционал (1.1) можно рассматривать как универсальный генератор произвольных невырожденных отображений квадрата Q на область W..
Заметим, что элементы матрицы G определены не однозначно. Если таковой является матрица G с элементами Gl,m, то годится и любая матрица с элементами a(ξ,η)×Gl,m, где a(ξ,η) – произвольная достаточно гладкая функция на квадрате Q. Такой произвол устраняется нормировкой: вместо матрицы G удобно ввести матрицу
с элементами(1.7)
; 
Ее элементы определяются двумя гладкими функциями f1(ξ,η) и f2(ξ,η), которые удовлетворяют условиям:
(1.8)
, 
, 
, f1f2³1.В частности, если полагать
(1.9)
, 
,то реализуются отображения, которые обычно называют гармоническими, как и соответствующие им сетки.
Более существенная причина неоднозначности матриц G: например, для гармонического отображения матрица, определяемая формулами (1.5), совсем не обязана давать результат (1.9), хотя и реализуется одно и то же отображение.
1.2. Рассмотрим теперь вариационный функционал
(1.10)
,где
(1.11)
.Такой функционал, отличающийся от (1.1) отсутствием якобиана искомого отображения в знаменателе подынтегрального выражения, был предложен в работе [3], а затем приведен на стр. 230 монографии [4]. В определенном смысле решение не включать якобиан отображения, избрав для подынтегрального выражения функционала формулу (1.11), было принято сознательно. Авторов [3] беспокоила проблема решения возникающих эллиптических уравнений Эйлера-Лагранжа. Об этом написал С.К. Годунов на стр. 21 своих воспоминаний [5] о создании метода решения газодинамических задач, который получил широкое распространение и теперь его обычно называют методом Годунова. Основания для упомянутого беспокойства есть и в настоящее время.