Задачи и упражнения по математической логике и теории множеств. Часть математическая логика (стр. 5 из 5)

300) По установленному сигналу каждый игрок замыкает или размыкает выключатель, находящийся под своим управлением. Если оба делают одно и тоже, то выигрывает А, в противном случае - В. Построить схему так, чтобы в случае выигрыша А зажигалась лампочка.

301) Комитет из 5 человек принимает решения большинством голосов, председатель пользуется правом ”вето”. Построить схему, чтобы голосование происходило нажатием кнопок и в случае принятия решения загоралась лампочка.

302) Построить схему, управляющую спуском лифта со второго этажа на первый. Условия, определяющие работу лифта, следующие:

дверь лифта на первом этаже закрыта,

дверь лифта на втором этаже закрыта,

пассажир находится в кабине лифта,

кнопка вызова на первом этаже нажата,

кнопка спуска на первый этаж в кабине нажата.

Найти функции проводимости следующих схем, если возможно, упростить схемы:

II.ПРЕДИКАТЫ И КВАНТОРЫ.

§1. ПРИМЕРЫ ПРЕДИКАТОВ. ОБЛАСТЬ ИСТИННОСТИ ПРЕДИКАТА. КВАНТОРЫ. СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ.

310) Какие из следующих предложений являютсе предикатами?

1) х делится на 3.

2) х делится на 5.

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) Для всякого

найдётся такой,что .

10)

311) Какие из предикатов п.310 тождественно истинны,тождественно ложны,выполнимы?

312) Выделить свободные переменные следующих предикатов:

1)

2)

3)

4)

5)

313) Из предикатов примера 310 образовать с помощью кванторов высказывания, найти их значения истинности.

§ 2. ОСНОВНЫЕ РАВНОСИЛЬНОСТИ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАНТОРЫ. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРЫ ПРЕДИКАТОВ К АНАЛИЗУ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УТВЕРЖДЕНИЙ.

314) Доказать следующие равносильности:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

315) Ввести необходимые предикаты и с помощью кванторов записать следующие определения, с помощью законов де Моргана получить их отрицания:

1) Определение предела часовой последовательности.

2) Определение фундаментальной по Коши последовательности.

3) Определение предела функции в точке.

4) Определение непрерывности функции в точке.

5) Определение непрерывной на интервале функции.

6) Определение равномерно непрерывной на интервале функции.

Почему из равномерной непрерывности на (a, b) следует непрерывность функции (a, b)?

316) Доказать, что существуют предикаты Ф и Р такие, что:

1)

2)

3)

317) Какие из следующих формул тождественно истины?

1)

2)

3)

4)

5)

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Новиков П.С. Элементы математической логики. Наука. М., 1973.

2. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. Наука. М., 1972.

3. Гохман А.В., Спивак М.А., Житомирский Г.И. и др. Сборник задач по математической

логике и алгебре множеств. Изд. Саратовского университета. 1965.

4. Гаврилов В.П.,Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. Наука.М., 1977.

5. Лавров И.А.,Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике теории

алгоритмов. Наука. М., 1975.