Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007 (стр. 3 из 7)

, то есть . Поскольку то из последнего неравенства следует, что .

Пример 11. Доказать, что последовательность

монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .

Второй замечательный предел

задаётся формулами

, , где

или формулой (). Он применяется, в частности, при вычислении пределов

, где т.е. в случае неопределённости вида

Пример 12. Найти предел

Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида

Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.

Пример 13. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

Пример 14. Доказать, что

Решение. Покажем, что при любом

Действительно, это неравенство равносильно неравенствам

Последнее неравенство верно, поскольку последовательность

убывает(см. пример ) и её предел равен

Тогда

Поскольку

то и

Пример 15. Для нахождения

применяется следующий процесс: произвольно,

(8)

Доказать, что

Решение. Из известного неравенства

, связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого Теперь убедимся в том, что последовательность не возрастает. Действительно, неравенство то есть , равносильно , . В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел , который находим, переходя в (8) к пределу: , .

Пример 16. Последовательность

определяется следующим образом:

, Найти .

Решение. Оценим разность между

и числом , являющимся корнем уравнения : , . Применяя полученное неравенство к разности и т.д., получим , .

Поскольку

, то и .

Предел функции

Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел,

– предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.

Определение. Число

называется пределом функции в точке , если

e d>0

d Þ

e). (9)

Предел функции в точке

обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).