Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007 (стр. 5 из 7)

По

предложению 3 выражение в числителе эквивалентно

, следовательно,

2-й способ. Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.

Пример 23. Вычислить предел функции

Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем

Пример24. Вычислить предел функции

.

Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при

, заменим их, кроме , на эквивалентные:

Получаем

.

Пример 25. Вычислить предел функции

.

Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х:

. Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

2-й способ. Поскольку

, то . Точно так же и при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

.

Пример 26. Вычислить предел функции

.

Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель

и учтём, что : . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:

.

.

Пример 27. Вычислить предел функции

Решение. 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:

Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел

и табличные эквивалентности, получаем:

+ + =

+ + = + 1 +

2-й способ. Последовательно используя табличные формулы

при , получаем

Пример 28. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку

и воспользуемся табличными формулами:

Пример 29. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку

:

(10)

Преобразуем выражение

Подставляем полученное выражение в (10):

Пример 30. Вычислить предел функции

Решение.

Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что

есть бесконечно большая, а и -бесконечно малые при

Пример 31. Найти предел

Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня:

Теперь используем табличное представление , где при , формулу приведения и то, что (непрерывность косинуса):

Пример 32. Вычислить предел функции

Решение. Величина

является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее, поэтому ; . Отсюда