Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007 (стр. 7 из 7)

2). Покажем, что для любых х и а

(15)

Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству

где (16)

Если х и а одного знака, то

Мы воспользовались известным неравенством

Из него же следует справедливость (16) для х и а разного знака. Из неравенства (15)следует, что в качестве искомого можно взять : если , то получаем, что

Пусть функция

определена в точках некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определение. Точка а называется точкой разрыва функции

, если она не определена в точке а или определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Если а – точка разрыва и существуют конечные пределы

и , то а называется точкой разрыва первого рода. Если при этом , то а называется точкой устранимого разрыва.

Точки разрыва функции

, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. Если при этом или , то а называется точкой бесконечного разрыва.

Если в некоторой полуокрестности слева или справа от а

не определена, то для определения характера разрыва рассматривают только или .

Пример 40. Найти точки разрыва функции

и исследовать их характер.

Решение. В точках

функция непрерывна, поскольку является произведением или частным непрерывных функций. В точке оба односторонних предела существуют и не равны: . Следовательно, - точка разрыва первого рода. В точке х=1 , следовательно, - точка разрыва второго рода

( точка бесконечного разрыва).

Пример 41. Определить точки разрыва функции

и исследовать их характер.

Решение. Находим область определения

функции: Отсюда или . На функция непрерывна: на множестве в силу арифметических свойств и непрерывности корня, а в точках - поскольку они являются изолированными (отдельными) точками . Таким образом, точками разрыва могут быть только . Находим . Поскольку

чётная, то и . Следовательно, - точки устранимого разрыва.

Пример 42. Исследовать на непрерывность функцию

и построить её график.

Решение. Пусть х>0. При х>1

и у=0. При у=1. При и Таким образом, при

(одновременно строим график, рис. 2 );

Следовательно, , являются для у точками разрыва первого рода. Пусть теперь х<0. При х < -1

и

. При , у=1. При и Таким образом, при Получаем, что и точки , являются точками разрыва первого рода. Поскольку то х=0 является точкой устранимого разрыва. Во всех остальных точках функция непрерывна.

Рис. 2

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.

2. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.

3. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.

4. Кузнецова М.Г. Типовой расчёт по высшей математике: Пределы.- Ульяновск: УлПИ, 1987.- 24 с.