Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007 (стр. 1 из 7)

Ульяновский государственный университет

Кафедра алгебро-геометрических вычислений

Л.А. Штраус, И.В. Баринова

П Р Е Д Е Л Ы

Методические указания для студентов факультета математики

и информационных технологий и факультета управления

Ульяновск-2007

Штраус Л.А., Баринова И.В. Пределы. Ульяновск: УлГУ.-2007.

Методические указания составлены в соответствии с учебными программами курсов математического анализа для факультета математики и информационных технологий и факультета управления и относятся к разделу «Введение в анализ». Они будут способствовать усвоению теоретического материала и формированию вычислительных навыков у студентов первого курса по одной из первых тем дисциплины, преодолению разрыва между уровнем математической подготовки выпускников средней школы и требованиями, предъявляемыми к уровню знаний студентов. Рассматриваемые задачи занимают максимально широкий диапазон - от простейших упражнений, соответствующих сборнику [3](по которому можно составлять индивидуальные семестровые задания) и контролирующих формирование необходимых вычислительных навыков, до серьёзных задач из сборника [1]. В последнем случае предлагаемые решения классических задач не копируют решений из [2] и соответствуют логике изучения дисциплины. Некоторые понятия, обязательные для изучения на факультете математики и информационных технологий (верхний и нижний пределы последовательности, равномерная непрерывность функции и др.) не рассматриваются в данных указаниях. Однако многие из основных определений здесь приведены. Перед их применением необходимо ознакомиться с соответствующим материалом по конспекту лекций или учебнику.

Предел последовательности

Определение. Число а называется пределом последовательности

, если для любого существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство

(

).

Пример 1. Доказать, что

(указать ).

Решение. Неравенство

из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид Пусть . Тогда , откуда , следовательно, в качестве N можно взять . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее . Если, например, , то условиям задачи отвечают натуральные числа , то есть

Пример 2. Доказать, что

(указать ).

Решение. Неравенство

принимает вид , Последнее неравенство преобразуется в квадратное. Однако вычисления можно упростить. Неравенство будет выполняться, если справедливо следующее двойное неравенство: Его левая часть заведомо выполняется при . Правая часть выполняется при . Следовательно, условиям задачи отвечают числа Отсюда

При вычислении предела

в случае и (т.е. в случае неопределённости вида ) или в случае , и т.д. нельзя сразу воспользоваться арифметическими свойствами предела. Следует так преобразовать выражение , чтобы можно было использовать свойства предела и раскрыть неопределённость, т.е. найти предел. Полезным для этого в случае бывает вынести в числителе и знаменателе старшие степени за скобки или разделить числитель и знаменатель на старшую степень одного из них.

Пример 3. Найти предел

.

Решение. Преобразуем исходное выражение, выполнив действия в числителе и знаменателе:

. Разделив числитель и знаменатель на их старшую степень , получим . Поскольку то по свойствам предела получаем

Вообще предел отношения двух многочленов переменной

можно находить по правилу

(1)

так что в решении последнего примера можно было обойтись без деления на

.

При вычислении пределов используют формулу бинома Ньютона

(2)

Также следует знать формулу

( «эн-факториал»- произведение натуральных чисел от 1 до n; например, ).

Пример 4. Найти предел

.

Решение. Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на

-

старшую степень числителя и знаменателя. Действительно, показатель степени суммы равен наибольшему показателю степени слагаемых, поэтому для числителя он равен 2 (

). Показатель степени произведения равен сумме показателей степеней сомножителей. Показатели степени выражений равны 1, поэтому показатель степени знаменателя равен 1+1=2. Тогда Поскольку при то , и по свойствам предела получаем

При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используют приём перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот с помощью формул сокращённого умножения

(3)