Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия» (стр. 3 из 10)

Условие

означает , что , т.е. . Отсюда : , значит l = 1 .Тот факт , что p и q пересекаются означает , что эти прямые определяют некоторую плоскость и в этой плоскости лежат или параллельны ей векторы и . Другими словами , эти векторы компланарны , а значит их смешанное произведение равно 0 :

.

Отсюда

. Параметры найдены .

2)Известно , что в общем уравнении плоскости

коэффициенты при переменных – это координаты нормального вектора плоскости (т.е. вектора перпендикулярного ей ) . В нашем случае нормальный вектор плоскости α имеет вид . Из уравнений прямой р получаем : - направляющий вектор прямой , - точка , принадлежащая прямой .

Отличное от нуля расстояние

означает , что , т.е. . Отсюда получим : , значит А=2 .

Теперь воспользуемся известными формулами для расстояния от точки до прямой и плоскости ( очевидно , что

= ):

, .

Вычислим эти расстояния :

;

;

;

= .

Приравняв полученные выражения к числам , данным в условии задачи , получим систему двух уравнений с одним неизвестным :

Решениями первого уравнения являются числа

. Но второму уравнению удовлетворяет только значение . Итак , параметры , входящие в уравнения , найдены А = 2 , t = -1 .

Задача 7. Составить уравнение плоскости α , если известно , что 1) :

и , где ; 2) α проходит через точку пересечения прямой и плоскость , причем .

Решение . Наиболее общий прием составления уравнения плоскости состоит в следующем . Берем произвольную (текущую) точку искомой плоскости , т.е. точку с переменными координатами M(x,y,z) . Далее находим три вектора

,лежащие в искомой плоскости или параллельны ей , причем конец одного из них – это текущая точка М , и векторы попарно неколлинеарны . Записываем условие компланарности этих векторов , т.е. . Это и будет уравнение искомой плоскости .

Если же известны некоторый вектор

, перпендикулярный искомой плоскости , и точка , принадлежащая ей , то уравнение такой плоскости имеет вид .

1)Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы

и точки , принадлежащие соответствующим прямым . Берем текущую точку . Так как , то вектор лежит в плоскости α . Далее ,так как по условию и , то и . Итак , у нас есть требуемая тройка компланарных векторов . Находим их смешанное произведение

.

Приравняем это выражение к нулю и после упрощения получим уравнение искомой плоскости α : 23x – 16y + 10z – 153 = 0 .

2)Так как

, то направляющий вектор прямой р является одним из нормальных векторов плоскости α : . Теперь найдем точку пересечения плоскости и прямой . Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде, обозначив каждое из трех отношений , составляющих канонические уравнения , через t :

или

Подставив эти уравнения в уравнение плоскости β , получим

, откуда t = -3 . Это значение параметра соответствует точке пересечения . Её координаты , и .

Составляем общее уравнение плоскости проходящей через точку

с нормальным вектором : .

После упрощения получим

.

Задача 8. Даны вершины треугольника А(1;2;-1) , В(7;9;-3) и С(4;8;8) . Составить каноническое уравнение его высоты , опущенной из вершины В на противоположную сторону .

Решение . Спроектируем вершину В на сторону АС (или ее продолжение) , для чего через точку В проведем плоскость α , перпендикулярную стороне АС .Для этой плоскости вектор

является нормальным . Поэтому уравнение плоскости α имеет вид

,

или после упрощения

α :

.

Проекцией точки В на сторону АС является точка пересечения плоскости α и прямой р , на которой лежит сторона АС . Для этой прямой р вектор

является направляющим вектором . Зная , что р проходит через точку А(1;2;-1) , можно составить параметрические уравнения р :

Найдем точку пересечения р и α :

,

откуда t =1/3 , x=1+1 = 2 , y = 2+2 = 4 , z = -1+3 = 2 .

Итак , проекция точки В на АС , т.е. основание высоты имеет координаты D(2;4;2) . Составим уравнения высоты AD как уравнения прямой , проходящей через две точки. Общий вид таких уравнений