Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия» (стр. 5 из 10)
Решение . Сделаем несколько общих замечаний относительно касательных к линиям второго порядка . Касательные к окружности , эллипсу , гиперболе и параболе можно определить как прямые , имеющие с линией единственную общую точку . Из этого определения надо сделать два исключения : прямые , параллельные оси параболы , и прямые ,параллельные одной из асимптот гиперболы . Эти прямые имеют с соответствующей линией одну общую точку , не являясь при этом касательными .
Если требуется провести касательную к линии через точку лежащую на ней , то можно использовать следующие свойства касательных : а) касательная к окружности перпендикулярна радиусу , проведенному в точку касания; b)касательная к эллипсу перпендикулярна биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки касания ; с) касательная к гиперболе сама является биссектрисой этого угла ; d)касательная к параболе перпендикулярна биссектрисе угла , образованного осью параболы и фокальным радиусом точки касания .
1)В качестве нормального вектора касательной q берем нормальный вектор данной прямой
, а именно 
(т.к. по условию 
) . Уравнение касательной запишем в общем виде 
, а неизвестный параметр С определяем из того условия , что q и 
имеют единственную общую точку . Другими словами , система уравнений
должна иметь единственное решение. Выразим из первого уравнения y через x и подставим во второе уравнение. После преобразований получим
.Это квадратное уравнение имеет единственное решение (лучше , конечно , говорить о двух совпадающих решениях ) , если только его дискриминант равен 0 . Итак , для определения параметра С имеем условие
.Решая его , находим :
Итак , имеется две касательные к 
, параллельные . Это
и 
.2)Уравнение прямой
запишем в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом : 
. И уравнение касательной q будем искать в такой же форме : 
. А так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку , то k =-2 . Неизвестный параметр b находим , как и в предыдущем пункте , из того условия , что система
имеет единственное решение . Другими словами , дискриминант квадратного уравнения
равен 0 . После преобразований получаем уравнение для b :
.Откуда
. Итак , имеется две касательных к 
, перпендикулярные 
:
, 
.3)Линия
- это гипербола (старшие коэффициенты противоположных знаков). Ее каноническое уравнение
.Из него находим :
Ее фокусы лежат на оси Ох (коэффициент перед 
положительный ) и имеют координаты 
. Найдем векторы , направленные по фокальным радиусам точки М(-5;-4) :
и 
.Теперь нетрудно найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного фокальными радиусами точки М :
.Используя свойство касательной к гиперболе , можно сделать вывод : вектор
является ее направляющим вектором . Запишем уравнение касательной в канонической форме :
.Итак , искомая касательная имеет вид
4)Уравнение касательной будем искать в форме
, где 
, а k – угловой коэффициент прямой q . В нашем случае 
, а неизвестный параметр k находим , как и в пунктах 1) и 2) , из того условия , что система
имеет единственное решение . После преобразований находим уравнение для ординат точек пересечения параболы и прямой :
.Дискриминант этого уравнения приравняем к нулю и получим уравнение для
. Отсюда : 
Теперь можно составить уравнения искомых касательных :
и 
.Задача 13. Установить , какая линия определяется уравнением
. (4)Решение . Уединим корень в правой части уравнения и возведем обе его части в квадрат :
.В уравнении имеется квадрат только одной переменной , значит оно определяет параболу . Приводим уравнение к нормальной форме :
. (5)Эта форма позволяет сказать о линии следующее : вершина параболы находится в точке V(-3;2) , её ось – параллельна оси Оу , ветви направлены вниз (знак ”-” перед правой частью ) . Параметр параболы равен р=4 , поэтому фокус
и директриса 
.Однако , при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения могли появиться и появились посторонние решения . Так как выражение
всегда неотрицательно , то получаем , что абсциссы точек линии (4) удовлетворяют условию 
, то есть эта линия лежит левее прямой 
.Итак , данное уравнение определяет левую половину параболы (5) .Ответ: уравнение
определяет восходящую ветвь параболы 
. 1. Какому условию должны удовлетворять векторы
и 
, чтобы имело место указанное соотношение.
. 
.
