Методические указания по самостоятельной работе студентов Киров (стр. 2 из 4)
3. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд (
): 
.4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона. Сравнить полученные значения с точным решением:
.5. Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках:
найти 
.Вариант 7
1. Решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений (решение найти с точностью
) 
2. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции
| х | -1 | 0 | 1 | 2 |
| у | 2 | 1 | 0 | -7 |
.Вычислить значение у для х=0,5.
3. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд (
): 
.4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона:
.5. Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках:
найти 
.Вариант 8
1. Исследовать сходимость и решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений (решение найти с точностью
) 
2. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции
| х | 0 | 2 | 4 | 6 |
| у | -1 | 0 | 7 | 26 |
.Вычислить значение у для х=5.
3. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд (
): 
.4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона:
.5. Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках:
найти 
.Вариант 9
1. Решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений (решение найти с точностью
) 
2. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции
| х | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у | -5 | -4 | 11 | 76 |
.Вычислить значение у для х=2,5 .
3. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд (
): 
.4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона:
.5. Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках:
найти 
.Вариант 10
1. Решить методом простой итерации и методом Зейделя системы уравнений (решение найти с точностью
) 
2. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующей таблице значений функции
| Х | 0 | 1 | 2 | 3 |
| У | 3 | 1 | -5 | -15 |
.Вычислить значение у для х=1,5.
3. Отделить корни уравнения графически и вычислить их, используя метод Ньютона и метод хорд (
): 
.4. Вычислить интеграл тремя способами: методами прямоугольника, трапеции и Симпсона:
.5. Применяя метод Эйлера, найти решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями в указанных точках:
найти 
.Теоретические основы для выполнения контрольной работы
О приближенных вычислениях
Реальное проведение любых вычислений проводится над числами, которые задаются не только точно, но и приближенно. Например, запись 7/3 обозначает число, но записать его в виде десятичной дроби можно только приближенно. Если же вычисления проводятся на компьютере, то приближенно записывать приходится не только числа типа 7/3, но многие другие. В результате возникают ошибки, которые постепенно накапливаются и искажают результат.
К настоящему времени все программные средства, благодаря которым на компьютерах проводятся вычисления, устроены так, что точность проводимых расчетов можно регулировать программно. Можно, например, «поручить» компьютеру вести вычисления с точностью до трех знаков после десятичной запятой; определение точности результата в этом случае может оказаться сложнейшей математической задачей. В некоторых случаях полученный результат можно запросить заново с большей точностью или оставить без изменения.
Алгоритм, по которому ведутся вычисления, может быть устойчивым к приближенным числам и может не быть таковым. Слова «устойчивый алгоритм» означают, что чем точнее задаются числа для обработки, тем точнее получается результат, причем для любой точности результата можно указать такую точность обрабатываемых чисел, что алгоритм приведет к результату именно с этой заданной точностью. В последующем мы столкнемся именно с такой ситуацией при изучении метода итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Примером метода, который не является устойчивым к приближенным числам, является метод последовательного исключения неизвестных для решения тех же систем. Одну из его реализаций мы рассмотрим в ближайшее время.
Алгоритм, реализующий те или иные вычисления, может требовать различное время для своей работы. Чем большего времени требует алгоритм, тем более высокую сложность по времени он имеет. Точно так же, чем больше компьютерной памяти требуется для реализации алгоритма, тем более высокую сложность по памяти он имеет.
Метод деления отрезка пополам для решения уравнений
Речь по-прежнему идет об отыскании корней уравнения
,т.е. таких чисел
, что при подстановке в уравнение вместо символа 
числа 
получается тождество. Само собой разумеется, что здесь, как и всюду в этом курсе, речь идет только о вещественных числах.О функции
в приводимых ниже рассуждениях по-прежнему предполагается, что она обладает непрерывными производными тех порядков, которые упоминаются по ходу изложения. Напоминаем, отделить корень уравнения - это значит найти такой интервал (a,b), который, во-первых, содержит корень уравнения и, во-вторых, содержит только один корень этого уравнения. Доказывается, что если на концах некоторого интервала (a,b) функция имеет разные знаки, а внутри этого интервала производная 
знак не меняет, то в интервале (a,b) корень уравнения есть и, притом, только один.
Отсюда возникает простая методика приближенного поиска корня, отделенного в интервале (a,b): надо построить последовательность точек
по следующему правилу: 
затем из двух интервалов (a,c1) и (c1,b) выбирается тот, на концах которого имеет разные знаки и его середина принимается за 
; обозначим концы этого интервала (у которого - середина) через (a2,b2), а затем выберем ту из его половин, на концах которой имеет разные знаки. Пусть (a3,b3) - эта половина и 
- середина этого отрезка и т.д. Доказывается, что построенная последовательность сходится к корню уравнения.