Методические указания по самостоятельной работе студентов Киров (стр. 3 из 4)
Если с самого начала задается некоторая точность вычислений, то на практике построение последовательности
прерывается тогда, когда два раза подряд получаются одинаковые с заданной точностью числа. Это последнее перед прерыванием построения последовательности число и принимается за приближенное с заданной степенью точности значение корня.Описанный метод уточнения корня называется методом деления отрезка пополам.
Метод хорд для решения уравнений
Предположим теперь на отрезке
уже отделен корень уравнения. Схематически это можно изобразить так:  |
При описании метода деления отрезка пополам строилась последовательность отрезков
и точек 
., сходящихся к корню уравнения. В методе хорд тоже строится некоторая последовательность отрезков 
и точек 
, сходящихся к корню.В качестве отрезка
берется отрезок 
. Точка с1 берется как точка пересечения с осью абсцисс прямой, проходящей через точки 
и 
. Укажем значение для c1 в явной форме: 
.Из двух отрезков
и 
выберем тот, на концах которого функция 
имеет разные знаки и этот отрезок примем за 
. Затем найдем точку 
по отрезку точно так же, как нашли точку 
по отрезку : это будет точка пересечения с осью абсцисс прямой, проходящей через точки 
и 
: 
.Затем в качестве отрезка
берется тот из отрезков 
и 
, на концах которого 
имеет разные знаки и т.д. Через последовательность точек 
приближенное значение корня находится так же, как в п.1. Название метода происходит из того, что конструируемые по ходу дела прямые являются хордами по отношению к графику функции.Метод касательных для решения уравнений
Вновь рассмотрим ситуацию отделенного на отрезке
корня уравнения. Будем предполагать, что функция имеет разные знаки на концах этого отрезка, а ее первые две производные на этом отрезке знака не меняют. На нижеприведенной схеме первая и вторая производные функции положительны. В случае метода касательных уточнения корня также строится последовательность отрезков и точек , сходящихся к корню.Пусть
= . Выберем тот край отрезка , на котором функция имеет тот же знак, что и ее вторая производная. В нашем примере на приведенной выше схеме - это точка b. Проведем через точку 
касательную к графику функции . Точку пересечения этой касательной с осью абсцисс и примем за точку c1. Вот соответствующая формула для рассматриваемого случая: 
Нетрудно получить аналогичные формулы для случаев, когда знаки упомянутых выше значений иные. Важен принцип: касательная проводится к графику в той точке, где знак значения функции совпадает со знаком ее второй производной. После этого из двух отрезков
и выберем тот, на концах которого функция имеет разные знаки и этот отрезок примем за . Затем найдем точку 
по отрезку 
точно так же, как нашли точку по отрезку и т.д. Через последовательность точек 
приближенное значение корня находится так же, как в п.1.Методика решения алгебраического уравнения
Мы остановимся здесь подробнее на методике решения алгебраического уравнения, т.е. уравнения вида:
, левую часть которого будем обозначать также через ; напомним, что речь идет только о вещественных корнях.При работе той или иной процедуры часто возникает необходимость вычислить значение
при некотором 
; организацию вычисления значения удобно проводить по схеме Горнера: строится рекурсия 
где 
, 
, так что 
.Далее заметим, что из алгебры известно следующее: существует простая формула, по которой устанавливается интервал (-R,R) такой, что если уравнение
имеет какой-либо (напоминаем: вещественный!) корень, то он оказывается внутри этого интервала, а именно: 
, где 
.