Предположим теперь, что относительно производной

многочлена

известны интервалы ее знакопостоянства, т.е. такие точки

, что на участках

функция

знак не меняет, а проходя через каждую из точек

меняет знак. Нетрудно обосновать в этой ситуации следующие выводы: 1) если внутри интервала (
-R,R) точек

нет вообще и

, то корней (напоминаем: вещественных!) у уравнения

нет; если

, то корень в интервале

есть и его надо уточнить с заданной точностью; 2) если в интервале (
-R,R) точки

оказались, то надо просчитать

в этих точках и в точках

; если среди этих значений нуля нет и все они имеют один и тот же знак, то корней (напоминаем: вещественных!) уравнение

не имеет; если же среди этих значений будут числа с разными знаками, то это позволит выделить все участки, на концах которых

имеет разные знаки, а внутри которых

знак не меняет. К каждому такому участку применима процедура уточнения корня (деление отрезка пополам, методы хорд и касательных).
И еще одно замечание. Если вещественные корни (все) уравнения

известны, то по ним полностью восстанавливаются участки знакопостоянства функции

: надо просчитать

между любыми двумя соседними корнями и по совокупности знаков полученных чисел сделать вывод.
Процедуру выяснения участков знакопостоянства производной

можно организовать так. Вычислим производные многочлена

:

; заметим, что производная

- линейная функция. Поэтому участки ее знакопостоянства вычислимы. Если

, то уже возможны формальные действия по описанной выше схеме по уточнению корней исходного уравнения. Если же

, то решим по описанной выше схеме уравнение

и по его корням установим участки знакопостоянства функции

; затем решим по описанной выше схеме уравнение

и по его корням определим участки знакопостоянства функции

и так далее, пока не окажется решенным исходное уравнение

.
Полученная в процессе решения информация позволяет установить также и кратность каждого корня уравнения

; напомним, что
корень
уравнения
считается имеющим кратность 
,
если 
,
но 
. В этом случае, как известно из алгебры, имеет место представление

, где

- многочлен степени

.
Основная литература
1. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. – М. – СПб.: Физматлит, 2008.
2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2009.
3. Поршнев С.В. Вычислительная математика. – СПб.: БХВ - Петербург, 2004.
Дополнительная литература
1. Бакушинский А.Б., Власов В.К. Элементы высшей математики и численных методов. – М.: Просвещение, 1968
2. Бутузов и др. Математический анализ в вопросах и задачах: Уч. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2007.
3. Гусак А.А., Гусак Г.М. Справочник по высшей математике. - Минск, 2009.
4. Колесников А.И. Краткий курс математики для экономистов. - М.: ИНФА-М, 20009.
5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 2004.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука 1999.
Ковязина Елена Михайловна
Вычислительная математика
Методические указания
Ответственный за выпуск: Глушкова А.И.
Технический редактор: Кочуров М.Г.
Корректор: Журавлева О.Н.
Издательский орган ВСЭИ
610000 Киров, Большевиков, 91А
тел./факс 67-02-35
Подписано в печать «____» ____________ 20__ г.
Тираж ____ экз.
Отпечатано на ризографе ВСЭИ