Методические указания к практическим занятиям по курсу «Методы и модели в экономике» (стр. 3 из 6)

.

Формирование технологической матрицы при наличии изолированного множества отраслей

Общая постановка задачи. Привести пример технологической матрицы при наличии изолированного множества отраслей. Это значит, что технологическая матрица не является неразложимой, то есть хотя бы одна отрасль даже косвенно не использует продукцию хотя бы одной другой отличной от нее отрасли.

Способ решения задачи. Обозначим через N множество номеров отраслей

. Подмножество отраслей S изолировано, если для , . Это означает, что отрасли S не нуждаются в товарах, производимых другими отраслями , хотя, быть может, передают им свои товары. Если перенумеровать отрасли так, чтобы первыми располагались k отраслей S, то матрица A примет следующий вид:

где

– квадратная матрица с размерами , отвечающая отраслям S; – квадратная матрица с размерами , соответствующая отраслям .

Пример постановки и решения задачи. Условие задачи: привести пример технологической матрицы A для экономической системы из пяти отраслей при наличии двух изолированных отраслей. Решение задачи. Наличие пяти отраслей экономической системы означает, что

. Поэтому множество номеров всех отраслей имеет вид . Наличие двух изолированных отраслей означает, что . Нумеруя отрасли так, чтобы первыми располагались изолированные отрасли, получим: – изолированное подмножество отраслей, – подмножество остальных отраслей. Отраслям S должна отвечать квадратная матрица с размерами , а отраслям – квадратная матрица с размерами . При этом матрица будет иметь размер . В качестве примера возьмем такие матрицы , , , все элементы которых равны 0,1:

, , .

Комбинируя их с нулевой матрицей, окончательно имеем:

.

Проверка технологической матрицы на неразложимость

Общая постановка задачи. Проверить заданную технологическую матрицу на неразложимость.

Способ решения задачи. Сначала нужно проверить выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. А именно, если вне ее главной диагонали нет нулей, то она неразложима. В противном случае вопрос о неразложимости пока остается открытым. Далее нужно проверить выполнимость достаточного условия наличия изолированных отраслей, то есть проверить наличие нулевой подматрицы в левом нижнем углу технологической матрицы. Если хотя бы одна из

подматриц размера , , стоящих в левом нижнем углу технологической матрицы размера , является нулевой, то технологическая матрица не является неразложимой, а соответствующее подмножество отраслей является изолированным. Если достаточное условие наличия изолированных отраслей тоже не выполняется, то используется определение неразложимости технологической матрицы. Если найдется хотя бы одна отрасль, которая даже косвенно не использует продукцию всех отраслей (изолированная отрасль), то технологическая матрица не является неразложимой, в противном же случае является.

Пример № 1 постановки и решения задачи. Условие задачи: проверить на неразложимость технологическую матрицу

.

Решение задачи. Проверим выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. Хотя на ее главной диагонали стоят два нуля (

), вне главной диагонали нулей нет, поэтому технологическая матрица неразложима.

Пример № 2 постановки и решения задачи. Условие задачи: проверить на неразложимость технологическую матрицу

.

Решение задачи. Проверим выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. Вне ее главной диагонали стоят два нуля (

), поэтому проверяемое условие не выполнено, и вопрос о неразложимости пока остается открытым. Далее проверим выполнимость достаточного условия наличия изолированных отраслей, то есть проверим наличие нулевой подматрицы в левом нижнем углу технологической матрицы. Для этого рассмотрим две подматрицы в левом нижнем углу технологической матрицы: одна размера , а другая размера . Подматрица размера не является нулевой (содержит один ненулевой элемент ), но подматрица размера является ( ). Поэтому технологическая матрица не является неразложимой, а подмножество отраслей является изолированным.

Пример № 3 постановки и решения задачи. Условие задачи: проверить на неразложимость технологическую матрицу

.

Решение задачи. Проверим выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. Вне ее главной диагонали стоит один нуль (

), поэтому проверяемое условие не выполнено, и вопрос о неразложимости пока остается открытым. Далее проверим выполнимость достаточного условия наличия изолированных отраслей. В левом нижнем углу технологической матрицы стоит ненулевой элемент , поэтому любая подматрица, стоящая в левом нижнем углу, не может быть нулевой. Тем самым, проверяемое условие не выполнено, и вопрос о неразложимости опять остается открытым. Используем определение неразложимости технологической матрицы. Для этого проверим на изолированность сначала первую отрасль. Так как , , то первая отрасль напрямую использует продукцию свою и третьей отрасли. Но , то есть первая отрасль напрямую не использует продукцию второй отрасли. Однако , то есть третья отрасль напрямую использует продукцию второй отрасли. А так как при этом первая отрасль напрямую использует продукцию третьей отрасли, то эта первая отрасль косвенно использует продукцию второй отрасли. Таким образом, первая отрасль использует прямо или косвенно продукцию всех отраслей и, тем самым, не является изолированной. Аналогично проверим на изолированность вторую отрасль. Она использует напрямую продукцию первой отрасли ( ) и третьей отрасли ( ), а также косвенно свою продукцию, поскольку ее при этом напрямую использует третья отрасль. Таким образом, вторая отрасль тоже использует прямо или косвенно продукцию всех отраслей и, тем самым, не является изолированной. Третья отрасль не является изолированной, так как напрямую использует продукцию всех отраслей ( , , ). Итак, ни одна из отраслей не является изолированной, а значит, технологическая матрица является неразложимой.