Методические указания к практическим занятиям по курсу «Методы и модели в экономике» (стр. 4 из 6)

Формирование неразложимой технологической матрицы для продуктивной модели Леонтьева

Общая постановка задачи. Привести пример неразложимой технологической матрицы для продуктивной модели Леонтьева.

Способ решения задачи. Способ решения данной задачи опирается на способ решения задачи формирования неразложимой технологической матрицы. Дополнительно используется достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Каждая строка технологической матрицы формируется одинаковым образом отдельно от других строк поэлементно в порядке возрастания номера столбца. При этом очередной j-й элемент

данной i-ой строки определяется по условию

.

Пример постановки и решения задачи. Условие задачи: привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с тремя отраслями. Решение задачи. Сформируем первую строку. Ее первый элемент

определяется с учетом ограничения . Положим . Аналогично, по условию положим , а по условию примем . Таким же образом можно сформировать вторую и третью строки. В простейшем частном случае они совпадут с первой. Итак, имеем:

.

Проверка неразложимой технологической матрицы на продуктивность модели Леонтьева

Общая постановка задачи. Проверить заданную неразложимую технологическую матрицу на продуктивность модели Леонтьева.

Способ решения задачи. Сначала нужно проверить выполнимость достаточного условия продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. А именно, если сумма

элементов каждой i-й строки неразложимой технологической матрицы не превосходит единицы, то есть

, ,

и хотя бы для одной строки

меньше единицы, то есть

,

то модель Леонтьева продуктивна. Кроме того, если сумма

элементов каждого j-го столбца неразложимой технологической матрицы не превосходит единицы, то есть

, ,

и хотя бы для одного столбца

меньше единицы, то есть

,

то модель Леонтьева также продуктивна. Иначе вопрос о продуктивности модели Леонтьева пока остается открытым. Для окончательного его решения нужно найти все собственные числа технологической матрицы и использовать необходимое и достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. А именно, модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда все собственные числа технологической матрицы меньше единицы.

Пример № 1 постановки и решения задачи. Условие задачи: проверить на продуктивность модель Леонтьева с неразложимой технологической матрицей

.

Решение задачи. Проверим выполнимость достаточного условия продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Имеем:

;

;

.

Так как

, то вопрос о продуктивности модели Леонтьева пока остается открытым. Далее имеем:

;

;

.

Видно, что проверяемое условие выполнено, а значит, модель Леонтьева продуктивна.

Пример № 2 постановки и решения задачи. Условие задачи: проверить на продуктивность модель Леонтьева с неразложимой технологической матрицей

.

Решение задачи. Проверим выполнимость достаточного условия продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Так как

и , то проверяемое условие не выполнено, и вопрос о продуктивности модели Леонтьева пока остается открытым. Для окончательного его решения найдем оба собственных числа и технологической матрицы и используем необходимое и достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Имеем: , . Так как оба собственных числа меньше единицы, то модель Леонтьева продуктивна.

Пример № 3 постановки и решения задачи. Условие задачи: проверить на продуктивность модель Леонтьева с неразложимой технологической матрицей

.

Решение задачи. Так как

и , то достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей не выполнено. Найдем оба собственных числа и технологической матрицы и используем необходимое и достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Имеем: , . Так как , то модель Леонтьева не является продуктивной. Можно отметить, что полученный ответ задачи легко находится в данном случае и из более наглядных соображений. А именно: чтобы произвести одну единицу первого продукта, необходимо затратить единицы второго. Но производство каждой такой единицы второго продукта требует затрат единиц первого продукта. Поэтому на производство всех единиц второго продукта нужно затратить единиц первого продукта. В итоге, при производстве первого продукта его расход превышает (в восемь раз) выпуск, то есть производства первого продукта на самом деле не получается.