Методические указания к лабораторной работе Нижний Новгород 2003 (стр. 2 из 4)
Разностное уравнение (1) есть алгоритм функционирование ЦФ. Его изобра-жают в виде структурной схемы ЦФ, рис. 7. Здесь z-1 - элементы задержки на один такт Т, элемент
усилитель с коэффициентом усиления а,b; x(nT) – входной дискретный сигнал, у(nT) – выходной, Т – период дискре-тизации.  |
Рис.7
Цифровой фильтр на рис. 7 имеет обратные связи, это фильтр с бесконеч-ной импульсной характеристикой или БИХ-фильтр. Если все коэффициен-ты b1=b2=…=bN=0, то получим фильтр с конечной импульсной характерис-тикой, КИХ-фильтр, он всегда устойчивый.
При синтезе ЦФ важно, чтобы фильтр обладал определенной частотной и фазовой характеристикой. Для синтеза БИХ фильтров используют следу-ющие методы:
1) синтез по аналоговому прототипу;
2) синтез по цифровому прототипу;
3) расчет численными методами на ЭВМ.
При синтезе по аналоговому прототипу от известной передаточной функции К(р) аналогового фильтра-прототипа стремятся перейти к разностному уравнению и системной функции H(z) ЦФ. Используют следующие методы:
1) метод отображения дифференциалов;
2) инвариантное преобразование импульсной характеристики;
3) согласованное Z-преобразование;
4) метод билинейного преобразования.
В методе отображения дифференциалов заменяют дифференциалы на конечные разности:
В случае прямой первой разности переход к Z плоскости производят так:
.Метод приближенный поэтому частотные характеристики ЦФ и аналого-вого прототипа могут существенно различаться, возможна потеря устой-чивости.
При инвариантном преобразовании импульсной характеристики импуль-сную характеристику ЦФ получают из импульсной характеристики ана-логового фильтра прототипа. Импульсную характеристику аналогового фильтра прототипа h(t) представляют в виде суммы экспонент:
,где bi - комплексная величина.
Импульсную характеристику h(nT) ЦФ получают дискретизацией h(t):
. (10)Находят системную функцию:
. (11)Полоса пропускания фильтра-прототипа не должна превышать величины π/Т для того, чтобы не было наложения частотных характеристик ЦФ.
При согласованном Z-преобразовании полюсы и нули передаточной функции К(р) аналогового фильтра-прототипа отображаются в полюсы и нули системной функции H(z) по правилу:
b → exp(- bT),
(p+b) → (1- Z-1(exp(-bT))),
(p+a-jb)(p+a+jb)=(p+a) 2+b 2→ 1-2Z-1e- aTcosbT+2Z-2 e- 2 aT . Метод неприменим, если нет нулей у прототипа. Если частоты, соответ-ствующие нулям превышают половину частоты дискретизации, то поло-жение нулей цифрового фильтра будет искажаться за счет эффекта нало-жения.
В методе билинейного преобразования по передаточной функция К(р) аналогового фильтра-прототипа находят системную функцию ЦФ заменой
. (12)Подставляя вместо р выражение через z, получим системную функцию H(z), однако H(z) не будет дробно-рациональным выражением и не соответствует никакому реальному цифровому устройству. Необходимо подобрать дробно-рациональное выражение, которое совпадало бы с
, и при этом сохранялась бы устойчивость фильтра. Для этого используют разложение в ряд :
, (13)где
.Ограничиваясь, для упрощения расчетов, одним членом ряда, получаем формулу билинейного преобразования:
. (14)Этот переход от плоскости Р к плоскости Z отображает ось jω в единичную окружность │z │=1, точки, расположенные левее оси р=jω оказываются внутри окружности │z │=1. Фильтр сохраняет устойчивость, но не будет точным аналогом исходного фильтра-прототипа, т.к. билинейное преобра-зование искажает частотный масштаб (из-за приближения для p). Если
- значение частоты характерной точки частотной характеристики аналого-вого фильтра, то этой характерной точке ЦФ будет соответствовать частота ωц в соответствии с билинейным преобразованием:  |
(15)Искажение частотного масштаба иллюстрирует рис. 8.
Рис.8
Для корректирования искажений нужно внести предыскажения в ана-логовый прототип. Известным характерным точкам
нужно поставить в соответствие характерные точки аналогового прототипа ωа в соответствии с выражением (15).При синтезе БИХ ЦФ по цифровому прототипу используется цифровой фильтр НЧ, от него переходят к цифровому фильтру НЧ, ПЧ, ВЧ, режекторному в соответствии с преобразованиями, указанными в табл.1.
| Цифровой фильтр | Выражение для замены | Примечание |
| 1. Нижних частот с частотой среза ωс |  |  − частота среза ЦФ прототипа Т − период дискретизации  |
| 2. Верхних частот с частотой среза ωс |  |  |
| 3. Полосо- вой с частотами среза ω2 (ω2> ω1) |  |  |
| 4. Режекторный с частотами среза ω1 и ω2 (ω2> ω1) |  |  |
Если АЧХ не является ступенчатообразной функцией частоты и синтез по аналоговому прототипу дает больше искажения, применяют расчет БИХ-фильтров численными методами на ЭВМ. При этом численными методами подбирают коэффициенты a,b в разностном уравнении (1), минимизируя величину среднеквадратической ошибки:
(16)где Hдейств(ejωT), Hзадан(ejωT) – частотные характеристики действительная и заданная.
При расчете КИХ-фильтров решают задачу аппроксимации АЧХ. Ис-пользуют метод частотной выборки и взвешивания.
Метод частотной выборки заключается в том, что если известны отсчеты требуемой АЧХ, то выполнив обратное дискретное преобразование Фурье, можно получить отсчеты h(n) импульсной характеристики ЦФ. Их исполь-зуют для построения системной функции ЦФ:
. (17)Если импульсная характеристика h(n) задана и бесконечна, то ее ограни-чивают умножением на прямоугольный импульс единичной амплитуды:
(18)Использование конечной импульсной характеристики приводит к всплес-кам АЧХ в переходной полосе из-за эффекта Гиббса. Для уменьшения всплесков используют методы оптимизации и взвешивания. При оптимизации АЧХ ЦФ представляют следующим образом:
, (19)где Но(jω) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (0÷ω1) и (ω2÷ω3),
Нк(jω) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (ω1÷ω2) в переходной полосе,
 |
− интерполирующая функция. Положение отсчетов Нк в полосе ω1÷ω2 (рис. 9), нужно выбрать так, чтобы Н(jω) приближалась к заданной. Рис.9