Методические указания к лабораторной работе Нижний Новгород 2003 (стр. 3 из 4)
Задачу решают методом линейного программирования или с использова-нием алгоритма многократной замены Ремеза. Использование взвешивания применяют для уменьшения пульсации путем умножения импульсной характеристики на специально подобранную весовую функцию, функцию окна. Весовые функции приведены в табл.2, их свойства приведены в табл.3.
Таблица 2
| Окно | Выражение |
| Ханна |  |
| Хемминга |  |
| Блэкмана |  |
| Кайзера |  Io – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка |
В предыдущих методах синтеза не представлялись требования к фазовой характеристике фильтра. Одной из основных особенностей цифровых КИХ-фильтров является то, что их можно построить так, чтобы они имели линейную фазу. Предположим, что число выборок входного сигнала N – нечетно, импульсная характеристика четная: hnc(-n)=hnc(n), n=0,1…(N-1)/2.
фильтр некаузальный (физически нереализуемый, h(n)≠0 при n<0). Частот-ную характеристику фильтра можно записать так:
(20)где а(0)=hnc(0), a(n)=2hnc(n), n=1,…,(N-1)/2.
Таблица 3
| Окно | Ширина главного лепестка | Максимальный уровень боковых лепестков, дб. | Уровень пульсаций в полосе пропускания, дб. |
| Ханна |  | -45 | 0,26 |
| Хемминга |  | -42,7 | 0,09 |
| Блэкмана |  | -75 | 1,11 |
| Кайзера |  | -30…-100 | 0,1…1 в зависимости от α |
Чтобы получить каузальный (физически реализуемый) фильтр необхо-димо ввести задержку в некаузальную импульсную характеристику в течение интервала времени, который соответствует наличию (N-1)/2 выборок. Частотная характеристика каузального фильтра будет иметь вид:
. (21)Для получения отсчетов импульсной характеристики можно использовать обратное дискретное преобразование Фурье выборок АЧХ. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой представлены в табл.4.
На рис. 10 показаны импульсные и частотные характеристики фильтров четырех видов. При решении задачи аппроксимации заданной частотной характеристики B(ω) необходимо подобрать коэффициенты Со,…, Ск частотной характеристики цифрового фильтра Ф(ω, Со, С1,…, Ск) так,чтобы выполнялось приближенное равенство Ф(ω, Со, С1,…, Ск)≈ B(ω). Для реше-ния используют критерии оценки приближения. Среднеквадратический критерий заключается в минимизации интегра-ла в заданной полосе частот ω1÷ ω2:
. (22)Критерий наилучшего равномерного приближения (чебышевский критерий):
 |
. 
(23) Рис.10
Таблица 4
| Тип симметрии | Частотная характеристика |
| Фильтр вида 1 N - нечетно, симметричная импульсная характеристика h(n)=h(N-1-n) |  |
| Фильтр вида 2 N - четное, симметричная импульсная характеристика |  |
| Фильтр вида 3 N – нечетное, антисимметрич-ная импульсная характеристика h(n)= - h(N-1-n) |  |
| Фильтр вида 4 N – четное, антисимметрич-ная импульсная характеристика |  |
Если использовать среднеквадратический критерий и разложить функцию Ф(ω, Со, С1,…, Ск) в ряд Фурье, то можно найти коэффициенты Со,…, Ск. Для функций Ф(ω, Со, С1,…, Ск) двух видов:
, (24)
(25)коэффициент
определяется следующим образом:
, (26)где
− нормированная частота, 
− частота дискретизации; D=2 при l=0; D=4 при l≠0 ; 
и 
для выражений (24) и (25) соответственно.Пусть требуется найти
для ФНЧ с частотной характеристикой: 
. (27)Пользуясь формулой (3), получим:
(28)Для фильтра вида 1 отсчеты импульсной характеристики находят так:
, l=0,1,…,k-1; 
, k=(N-1/2), N – нечетное, 
, так как импульсная характеристика симметричная.Структура ЦФ будет иметь вид, показанный на рис. 11.
Рис. 11
Сгладить пульсации частотной характеристики можно путем умножения отсчетов импульсной характеристики на весовое окно g(l), тогда вместо коэффициентов
получим 
, l=0,…,(N-1)/2.Найдем коэффициенты
для преобразователя Гильберта, идеали-зированная частотная характеристика которого имеет вид:
,где Ω – нормированная частота. Выберем В(ω)=-1 в диапазоне
при интегрировании в соответствии (3) и 
, получим:
.Отсчеты импульсной характеристики КИХ фильтра :
, l=1,…,k; k=(N-1)/2, коэффициенты h(0), h(1), h(k) антисимметричны коэффициентам h(2k),…,h(2k-l): h(l)=-h(2k-l).Это фильтр вида 3, количество отсчетов импульсной характеристики нечетное.
3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Выберите в качестве аналогового фильтра прототипа цепь, схема кото-рой показана рис.12.
Рис. 12
Ее передаточная функция
, где Т*=RC. Заданы величины Т* и Т (Т– период дискретизации). Используйте метод инвариантного преобразования импульсной характеристики. Постройте структурную схему ЦФ, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы.2. В задании 1 используйте метод билинейного преобразования, постройте структурную схему, фильтра, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы.
3. Используйте метод билинейного преобразования постройте ЦФ с максимально гладкой АЧХ со следующими данными: затухание на частоте среза
, 3дб, затухание на частоте 
, А дБ; частота дискретиации 
, аналоговый прототип – фильтр Баттерворта с частотной характерис-тикой: