Методические указания к лабораторной работе Нижний Новгород 2003 (стр. 1 из 4)
Министерство образования Российской ФедерацииНИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Электроника и сети ЭВМ»
ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
Методические указания к лабораторной работе
Нижний Новгород 2003
Составитель Н.В.Марочкин
УДК 681.3.06
ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ: Метод. указания к лаб.работе / НГТУ; Сост.: Н.В. Марочкин. Н.Новгород, 2003. – 20 с.
Рассмотрены основные характеристики цифровых фильтров, методы построения и анализа. Приведены индивидуальные задания по синтезу и анализу цифровых фильтров. Дана методика проведения исследования.
Редактор И.И.Морозова
Подп. к печ. 06.06.02. Формат 60х841/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Уч.-изд.л. 0,8. Тираж 200 экз. Заказ 434.Нижегородский государственный технический университет.
Типография НГТУ. 603600, Н.Новгород, ул.Минина, 24.
© Нижегородский государственный
технический университет, 2003
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучить основные характеристики цифровых фильтров (ЦФ), методы построения и анализа. Закрепить теоретические знания проведением экспе-риментального исследования с помощью моделирующей программы.
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Цифровым фильтром называют устройство, которое преобразует посту-пившую на его вход последовательность чисел x(nT) в другую последова-тельность чисел y(nT), формируемую на выходе фильтра. ЦФ – дискретное устройство. Если при выполнении арифметических операций числа не подвергаются округлению, выполняются операции задержки, суммирова-ния, умножения на постоянные коэффициенты, то работу ЦФ можно описать линейным разностным уравнением с постоянными параметрами. При постоянном периоде дискретизации Т это уравнение имеет следующий вид:
(1)
где х(nТ), у(nТ) – входной и выходной дискретные сигналы в момент nТ,
, 
– постоянные параметры уравнения. Как следует из уравнения для формирования выходного отсчета в текущий момент времени nТ исполь-зуются входные и выходные отсчеты, это в общем случае.Для синтеза и анализа ЦФ вводят характеристики, сходные с характе-ристиками аналоговых фильтров. Как известно, для анализа аналоговых непрерывных систем широко используют дифференциальные уравнения. Для упрощения их решения используют преобразование Лапласа. В результате от дифференциальных уравнений переходят к алгебраичес-ким.Функция f(t), которая подвергается преобразованию Лапласа должна удовлетворять следующим требованиям:
1) f(t)=0 , при t<0;
2) при t≥0 f(t) на каждом конечном отрезке имеет конечное число точек разрыва первого рода;
3) при t→∞ f(t) имеет ограниченную скорость роста, т.е. существуют α и М = М(f, α) такие, что │f(t) │≤
, для t >0.Прямое преобразование Лапласа :
, (2)где p=δ+jw комплексная величина.
Переменную
следует выбирать так, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции f(t), для этого полюсы функции F(p) при t≥0 находились слева от прямой 
, 
. Добавляя к этой прямой дугу бесконечного радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования с обходом пути интегрирования против часовой стрелки. Обратное преобразование Лапласа : 
. (3)Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции F(p). Прямое дискрет-ное преобразование Лапласа:
, (4)представляет собой периодическую функцию частоты с периодом
.Дискретное преобразование Фурье:
, (5)где k=0,1,2…N-1 –число выборок,
, 
– верхняя частота в спектре сигнала, 
– частота повторения или интервал между соседними отсчета-ми АЧХ, рис. 1, 
.  |
Рис.1
Спектр дискретного периодического сигнала имеет вид, рис. 2.
В изображение по Лапласу входит множитель exp(pT) – трасцендентная функция комплексной частоты. Это затрудняет переход от одних характе-ристик электрической цепи к другой. Нули и полюсы передаточной фун-кции периодически повторяются.
 |
Рис.2
В связи с этим для дискретных систем широкое распространение получило Z-преобразование, получаемое заменой
на z, при этом 
.  |
Такая замена преобразует трасцендентные функции в рациональные фун-кции от z. Периодическое повторение особых точек устраняется, сдвиг на период Т на плоскости Р соответствует повороту на 360º на плоскости комплексной переменной z. Ось частот jω плоскости Р отображается в окружность единичного радиуса, левая полуплоскость – во внутрь, рис. 3.
Рис. 3
Z – преобразование записывают так:
. (6)Здесь f(k) – отсчеты импульсной характеристики аналоговой цепи в дискретные моменты времени 0,Т,2Т,…, при замене z=
получим:
. (7)  |
Это означает, что единичная окружность Z плоскости – геометрическое место точек отсчетов частотной характеристики системы (или отсчетов спектральных составляющих), рис. 4.
Рис.4
Если Z – преобразование применить к разностному уравнению ЦФ (1), то получим:
, (8)где Н(z) – системная функция ЦФ, аналогичная по смыслу передаточной функции аналогового фильтра. Н(z) – есть Z преобразование импульсной характеристики ЦФ.
Импульсная характеристика – есть реакция ЦФ на единичный импульс:
Z(f(nT))=1, поэтому при Х(z)=1, H(z)=Y(z).
Системная функция H(z) характеризуется положением нулей и полюсов.
У физически устойчивой аналоговой системы полюсы передаточной функ-ции расположены в левой полуплоскости комплексной переменной P=
. Так как 
, то у устойчивого ЦФ полюсы системной функции H(z) должны располагаться внутри окружности еди-ничного радиуса. Системная функция H(z) связана с частотной характеристикой ЦФ следующим образом. Если подать на вход ЦФ дискретный гармонический сигнал 
, то сигнал на выходе ЦФ 
, где 
– частотная характеристика ЦФ.В соответствии с разностным уравнением (1):
. (9)Это выражение совпадает с H(z), если в нем заменить z-1 на
, таким образом 
.  |
Частотная характеристика
периодическая функция частоты, рис. 5. Рис.5
 |
Если период дискретизации выбран больше чем
, то это приведет к искажению частотной характеристики, рис. 6. Рис. 6