Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы (стр. 3 из 14)
В создание современного математического аппарата и развитие многих направлений исследования операций большой вклад внесли российские ученые Л.В. Канторович, Н.П. Бусленко, Е.С. Вентцель, Н.Н. Воробьев, Н.Н. Моисеев, Д.Б. Юдин и многие другие.
Значительный вклад в формирование и развитие исследования операций внесли зарубежные ученые Р. Акоф, Р. Беллман, Г. Данциг, Г. Кун, Дж. Нейман, Т. Саати, Р. Черчмен, А. Кофман и др.
Методы исследования операций, как и любые мат. методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют задачу, отражая порой нелинейные процессы линейными моделями, динамические процессы - статическими моделями и т.д. Жизнь богаче любой схемы. Поэтому не следует ни преувеличивать значение количественных методов исследования операций, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений. Уместно привести в связи с этим шутливо-парадоксальное определение исследования операций, сделанное одним из его создателей Т.Саати, как «искусства давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».
2. Линейное программирование
Термин «линейное программирование» впервые появился в 1951 г. в работах американских ученых (Дж. Данциг, Т. Купманс), а первые исследования по линейному программированию (основные задачи и приложения, критерий оптимальности, экономическая интерпретация, методы решения, геометрическая интерпретация результатов решения) были проведены в конце 30-х годов в СССР в Ленинградском университете Л. В. Канторовичем.
Под линейным программированием понимается линейное планирование, т.е. получение оптимального плана - решения в задачах с линейной структурой.
Линейное программирование широко применяется в сфере военной деятельности, сельском хозяйстве, промышленности, управлении производственными процессами и запасами, в экономике и на транспорте.
2.1. Общая задача линейного программирования.
Общей задачей линейного программирования (ОЗЛП) называют задачу: Максимизировать (минимизировать) функцию
(2.1)при ограничениях:
(2.2)где cj, aij, bi -заданные действительные числа, (2.1) - целевая функция, (2.2) - ограничения,
- план задачи.Экономическая интерпретация модели ЛП состоит в следующем. Моделируемая система характеризуется наличием нескольких видов «производственной деятельности»
, для осуществления которых требуются имеющиеся в ограниченном количестве различные ресурсы 
Расход i-го ресурса на единицу продукта j-го вида производственной деятельности равен aij. В свою очередь при таком потреблении результат j-го вида производственной деятельности для единицы соответствующего продукта (удельная стоимость или прибыль) характеризуется величиной cj.Цель построения модели состоит в определении уровней (объемов производства) каждого вида производственной деятельности xj, при которых оптимизируется (максимизируется или минимизируется) общий результат производственной деятельности системы в целом без нарушения ограничений, накладываемых на использование ресурсов.
Оптимальным решением (или оптимальным планом) задачи ЛП называется решение
системы ограничений (2.2), при котором линейная функция (2.1) принимает оптимальное значение.Термины «решение» и «план» - синонимы, однако первый используется чаще, когда речь идет о формальной стороне задачи (ее математическом решении), а второй - о содержательной стороне (экономической интерпретации).
Симметричной формой записи ЗЛП называют задачу
или задачу 
(2.3)2.2. Линейное программирование в экономике
1. Задача о наилучшем использовании ресурсов. Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, фирма и т.д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов, может выпускать n различных видов продукции (товаров) Пj,
Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т.д.). Все эти виды ограничивающих факторов называют ингредиентами Ri, 
Они ограничены, и их количества равны соответственно b1,b2,...,bm условных единиц. Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т.д. Примем в качестве такой меры, например, цену реализации cj, j= 
. Известны также технологические коэффициенты aij, 
, которые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы продукции j-го вида. Обозначим через 
план производства, показывающий, какие виды товаров П1, П2, ..., Пn нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.Математическая модель задачи имеет следующий вид:
(2.4) 
Так как переменные xj входят в целевую функцию Z(
) и систему ограничений только в первой степени, а показатели aij, bi, cj являются постоянными в планируемый период, то (2.4) - задача линейного программирования.2. Задача о смесях. В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи формировании минимальной потребительской продовольственной корзины, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т.д. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.
Модель задачи о наилучшем составе смеси рассмотрим на примере задачи формирования минимальной потребительской продовольственной корзины. Задан ассортимент продуктов
, имеющихся в продаже. Каждый продукт содержит определенное количество питательных веществ, обозначаемые номерами 1,2,..., m (углеводы, белки, жиры, витамины, микроэлементы и др.). Единица j-го продукта содержит aij единиц i-го питательного вещества. Для нормальной жизнедеятельности в заданный промежуток времени нужно потреблять не менее bi единиц i-го питательного вещества. Обозначим через cj стоимость единицы продукта j-го вида. Необходимо определить требуемую потребительскую продовольственную корзину, имеющую минимальную стоимость.Решение задачи - это количества xj продуктов каждого вида, обеспечивающие необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на исходные продукты.
Математическая модель задачи имеет следующий вид:
(2.5)
3. Задача о раскрое материалов. Сущность задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких технологически допустимых планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы ( по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму.
На раскрой (распил, обработку) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна.
Пусть n - число различных видов материала, поступающего на раскрой; dj - количество материала j-го вида,
m - число различных видов изделий, которые надо изготовить; bi - число изделий i-го вида, 
; l -число различных способов раскроя; aijk - число изделий i-го вида, которое можно получить из единицы материала j-го вида при k-м способе раскроя, 
; cjk - себестоимость раскроя единицы материала j-го вида k-м способом, 
.