ЭКОНОМИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Методические указания
по изучению дисциплины и выполнению
контрольной работы
Методические указания по изучению дисциплины подготовил
к.т.н., проф. кафедры математических методов обработки
информации, зав. каф. ММОИ Клетин В.А.
Москва, 2007
Экономико-математические методы
Введение
Экономические проблемы, возникающие перед специалистами, в большинстве своем сложные. Они зависят от множества различных, иногда противоречащих друг другу факторов, изменяются с течением времени и влияют на другие проблемы и процессы.
Вследствие этого исследование экономической проблемы целесообразно проводить на адекватной математической модели. Математическая модель отражает проблему в абстрактной форме и позволяет учесть большое число разнообразных характеристик, от которых эта проблема зависит. Анализ и расчет математической модели позволяют выбрать оптимальные решения поставленной задачи и обосновать этот выбор.
Впервые математические модели были использованы для решения практической задачи в 30-х годах в Великобритании при создании системы противовоздушной обороны. Для разработки данной системы были привлечены ученые различных специальностей. Система создавалась в условиях неопределенности относительно возможных действий противника, поэтому исследования проводились на адекватных математических моделях. В это время впервые был применен термин: «операционное исследование», подразумевающий исследования военной операции. В последующие годы операционные исследования или исследования операций развиваются как наука, результаты которой применяются для выбора оптимальных решений при управлении реальными процессами и системами.
Математические модели, созданные для целей экономики, изучаются специальной научной дисциплиной, получившей название «экономико-математические методы». ЭММ представляют собой своеобразный инструментальный набор, с помощью которого экономисты, бизнесмены, менеджеры, стремясь добиться наилучшего эффекта «обрабатывают» свой материал.
Научной основой ЭММ стали методы исследования операций.
1. Основные понятия и определения исследования операций
1.1. Цель и задачи исследования операций
Исследование операций - научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами (система - это совокупность взаимосвязанных, взаимодействующих элементов (людей, машин ...), выполняющих определенную задачу).
Управление любой системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены, измерены. Т. о., цель исследования - количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.
При решении конкретной задачи управления применение методов ИО предполагает:
- построение экономических и математических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;
- изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.
Операция - любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа ее проведения, организации, иначе - от выбора некоторых параметров.
Всякий определенный выбор параметров называется решением. Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.
Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции. Составление модели операции требует понимания сущности описываемого явления и знания математического аппарата.
1.2. Модели и моделирование.
Одним из основных методов научного познания является эксперимент, а самой распространенной его разновидностью - метод моделирования систем.
В процессе создания систем приходится проводить многочисленные исследования, эксперименты и расчеты, связанные с оценкой качества функционирования систем, с выбором лучшего варианта для ее создания. Выполнять их непосредственно на реальной системе очень сложно, иногда занимает много времени и экономически невыгодно. Существуют системы (экономика страны), на которых просто невозможно ставить эксперименты с познавательной целью. Значительно проще и дешевле создать модель системы и проводить на ней эксперименты.
Под моделью принято понимать систему, способную замещать оригинал так, что ее изучение дает новую информацию об оригинале. Модель должна частично или полностью воспроизводить структуру моделируемой системы, ее функции.
Под моделированием понимается процесс построения и исследования модели, способной заменить реальную систему и дать о ней новую информацию.
Модели, используемые на практике, условно можно разделить на два типа: физические и символические.
Символические модели описывают структуру и функции оригинала с помощью символов и соотношений между ними, выражающих определенные зависимости, присущие оригиналу. Большое место среди символических моделей занимают математические модели (уравнения, неравенства, функции, алгоритмы и т.д.), отражающие математические или логические зависимости.
Математическая модель представляет собой систему математических и логических соотношений, описывающих структуру и функции реальной системы. Математическая модель отличается по своей физической природе от оригинала. Исследование свойств оригинала с помощью математической модели значительно удобнее, дешевле и занимает меньше времени по сравнению с физическим моделированием. Многие математические модели являются универсальными, т.е. могут использоваться для исследования различных систем. Целый ряд систем, в том числе экономических, либо трудно, либо вообще невозможно представить с помощью физических моделей. Существенную роль в развитии математического моделирования сыграли ЭВМ, способные выполнять различные по сложности вычисления и логические операции с большой скоростью.
Среди математических моделей важное место занимают ЭММ, представляющие собой математическое описание экономических процессов и явлений. Большинство ЭММ включает в себя систему уравнений и неравенств, состоящих из набора переменных и параметров. Переменные величины характеризуют, например, объем производимой продукции, капитальных вложений, перевозок и т.п., а параметры - нормы расхода сырья, материалов, времени на производство определенной продукции. Практически в каждой модели можно выделить две группы переменных: 1) внешние переменные - их значения определяются вне данной модели и считаются в данной модели заданными; 2) внутренние переменные, значения которых определяются в результате исследования данной модели.
ЭММ используются преимущественно для планирования или прогнозирования состояния системы на будущее. Наряду с использованием в предсказательных целях ЭММ применяются для описания реально существовавших или существующих экономических процессов.
Выделяют описательные и оптимизационные ЭММ, которые используются на любых уровнях народнохозяйственной иерархии.
Описательные модели экономических систем представляют собой формализованную с помощью математического аппарата экономическую задачу и используются для более глубокого изучения состояния системы и взаимосвязи ее элементов. К ним относятся матричные модели межотраслевых балансов народного хозяйства и экономического района, производственные функции и др. При определении исходных данных задачи модели данного типа позволяют получить единственное решение. Основной недостаток этих моделей - отсутствие условия нахождения оптимального решения.
Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл экономической задачи. Отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получать множество решений, удовлетворяющих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения, отвечающего критерию оптимальности: модели определения оптимальной производственной программы, модели оптимального смешивания компонентов, оптимального раскроя, оптимального размещения предприятий некоторой отрасли на определенной территории, модели транспортной задачи. Большинство существующих оптимизационных моделей являются моделями планирования и имеют один критерий оптимальности.
1.3. Процесс экономико-математического моделирования.
Этот процесс состоит из нескольких взаимосвязанных этапов. Разбиение на этапы и выделение на каждом этапе присущих ему процессов условно: на одном из выделенных этапов возможно совмещение процессов, относящихся к разным этапам.
Первый этап - постановка задачи.
Данный этап начинается с выработки цели исследования. Для конкретной экономической системы цели исследования могут быть различными, например, для предприятия можно задаться целью составить оптимальный план выпуска продукции или перевозок грузов, либо найти оптимальный вариант раскроя исходных материалов и т.д. Исходя из цели исследования необходимо провести подробный анализ системы, выявить ее структуру и функции, изучить особенности.