Методические указания "Решение задач на переливания" (стр. 4 из 5)

N	Действие	А(8б)	Б(6б)	В(3б)
0		8	0	0
1	А-Б	2	6	0
2	Б-В	2	3	3
3	В-А	5	3	0
4	Б-В	5	0	3
5	В-А	8	0	0

Возможно получение следующего запаса воды:

2 бочки - за 1 ход	5 бочек - за 1 ход
3 бочки - за 1 ход	6 бочек - за 1 ход

Распределение задач по сложности
(в зависимости от сложности - количества ходов - приведены объемы жидкости, которые можно получить путем переливаний с помощью трех сосудов заданного объема)

Например, для задачи 7, т.е. для сосудов объемами 12, 8 и 5 пинт за 1 ход можно получить в каком либо сосуде 4, 5, 7 или 8 пинт. Данные задания могут быть оценены в 1 условный балл. 11 пинт сока для этих же емкостей можно получить не менее, чем за 9 ходов. Значит, данная задача будет "стоить" в 9 раз дороже - 9 условных баллов. Самая сложная задача - N 9, отливание 11 чашек воды из 12-чашечной кастрюльки с помощью 9 и 7-чашечных. Она требует 12 ходов.

N задачи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Объемы	10-7-2	12-8-3	7-4-3	6-5-1	10-7-4	10-6-4	12-8-5	12-9-5	12-9-7	8-6-3
1 ход	2,3,7,8	3,4,8,9	3, 4	1, 5	3,4,6,7	4, 6	4,5,7,8	3,5,7,9	3,5,7,9	2,3,5,6
2 хода	1, 5	1, 5	1	4	-	2	3	4	2	-
3 хода	по5, 6	6, 7	6	2	2	8	2, 9	2, 8	10	-
4 хода	4	2, по 6	2	3	1	-	-	1	-	-
5 ходов	-	10	5	по 3	9	-	1, 10	11	1	-
6 ходов	-	-	-	-	-	-	6	-	4	-
7 ходов	9	11	-	-	5	-	по 6	6	8	-
8 ходов	-	-	-	-	по 5	-	-	по 6	-	-
9 ходов	-	-	-	-	8	-	11	-	-	-
10 ходов	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
11 ходов	-	-	-	-	-	-	-	10	-	-
12 ходов	-	-	-	-	-	-	-	-	11	-

В таблице приведены данные для формирования 86 (как минимум) вариантов задач на переливания (пересыпания) с различным уровнем сложности - количеством ходов - от 1 до 12 условных баллов.

Разобравшись с задачами на переливания с помощью сосудов конечного объема, можно перейти ко второму набору задач, в которых вместо одного из сосудов присутствует бесконечный источник или водоем, из которого можно набирать жидкость любое количество раз, а также сливать жидкость в него. Эти задачи можно рассматривать как дополнительные к задачам первого набора.

II. Задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов
(при переливании можно сливать жидкость в исходный сосуд или водоем)

Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?
Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?
Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?
Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют соответственно 7 литров и 3 литра?
Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока? [3]
Современный вариант старинной задачи [6].

К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей (сумма зависит от финансово-экономической ситуации в стране и соответственно варьируется) с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?

Для решения приведенных задач требуется 4, 6, 8 и более ходов.

Для данного типа задач также применим подход, изложенный в [2]. Приведем решения без полного возможного набора ходов. Объем жидкости в условном сосуде А будет соответствовать объему слитой жидкости, объемы Б и В - заданным объемам по условию задачи. Действие, обозначенное одной буквой, например, Б, означает наполнение сосуда из источника (водоема, исходного сосуда).

1. Задача имеет решение за 4 хода.

N	Действие	А	Б(9л)	В(5л)
0			0	0
1	В	0	0	5
2	В-Б	0	5	0
3	В	0	5	5
4	В-Б	0	9	1

2. Задача решается за 6 ходов. Лишнюю воду сливаем в водоем.

N	Действие	А	Б(5л)	В(3л)
0			0	0
1	Б	0	5	0
2	Б-В	0	2	3
3	В-А	3	2	0
4	Б-В	3	0	2
5	Б	3	5	2
6	Б-В	3	4	3

3. Для решения требуется 8 ходов. Компот сливаем в ведро.

N	Действие	А	Б(900г)	В(500г)
0			0	0
1	Б	0	900	0
2	Б-В	0	400	500
3	В-А	500	400	0
4	Б-В	500	0	400
5	Б	500	900	400
6	Б-В	500	800	500
7	В-А	1000	800	0
8	Б-В	1000	300	500

4. Решение достигается за 8 ходов. Нефть из сосуда В два раза выливается.

N	Действие	А	Б(9л)	В(4л)
0			0	0
1	Б	0	9	0
2	Б-В	0	5	4
3	В-А	4	5	0
4	Б-В	4	1	4
5	В-А	8	1	0
6	Б-В	8	0	1
7	Б	8	9	1
8	Б-В	8	6	4

5. Задача также решается за 8 ходов, аналогично предыдущей.

N	Действие	А	Б(7л)	В(3л)
0			0	0
1	Б	0	7	0
2	Б-В	0	4	3
3	В-А	3	4	0
4	Б-В	3	1	3
5	В-А	6	1	0
6	Б-В	6	0	1
7	Б	6	7	1
8	Б-В	6	5	3

6. Задача имеет решение за 14 переливаний. Молоко из 17-литрового бидона сливается в цистерну.

N	Действие	А	Б(17л)	В(5л)
0			0	0
1	В	0	0	5
2	В-Б	0	5	0
3	В	0	5	5
4	В-Б	0	10	0
5	В	0	10	5
6	В-Б	0	15	0
7	В	0	15	5
8	В-Б	0	17	3
9	Б-А	17	0	3
10	В-Б	17	3	0
11	В	17	3	5
12	В-Б	17	8	0
13	В	17	8	5
14	В-Б	17	13	0

Можно дать достаточно короткое словесное решение задачи: с помощью 5-литрового бидона налить в 17-литровый бидон 15 литров молока. Затем, наполнив еще раз 5-литровый бидон, налить недостающие 2 литра в больший бидон. Тогда в 5-литровом бидоне останется 3 литра молока. Вылив 17 литров молока обратно в цистерну, налить эти 3 литра молока в 17-литровый бидон. Остается добавить туда еще 10 литров молока.