Тема 3. Кодирование сообщений
Введение. Основные определения. Кодирование сообщения при отсутствии помех. Коды К. Шеннона-Фано, Хаффмана, блочное кодирование, основная теорема кодирования.
Кодирование сообщений при наличии помех. Теорема Шеннона. Методирование сообщений. Кодирование с проверкой на четность, коды Хэмминга.
Тема 4. Шифрование информации
Введение. Основные определения. Криптографические системы. Методы шифрования. Прямые подстановки, многоалфавитные подстановки, монофонические шифры, шифрование гаммированием, шифр Цезаря, квадрат Полибия. Шифрование подстановкой. Шифр простой подстановки, многоалфавитные подстановки, шифр Винижера. Перестановки. Составные преобразования, шифрование с помощью датчика случайных чисел.
Стандарты на шифрование.
1.5.1. Список рекомендуемой литературы
1. В.И. Дмитриев. Прикладная теория информации. – М.: Высшая школа, 1989.
2. В.А. Орлов, Н.И. Филиппов. Теория информации в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1978.
3. У.М. Сиберт. Цепи, сигналы, системы. Т.1,2. – М.: Мир, 1988.
4. Р.Л. Стратопович. Теория информации. – М.: Сов. Радио, 1978.
5. Д.Д. Кловский, В.А. Шилкин. Теория передачи сигналов в задачах. –М.: Связь, 1978.
6. А. Ренье. Трилогия о математике. – М.: Мир, 1980.
7. В.А. Кочегуров. Введение в прикладную теорию информации. Учеб. пособие. - Томск: Изд. ТПУ, 1999. - 95 с.
1.6. Численные методы
Тема 1. Предмет численных методов
Основные понятия численных методов и способы построения вычислительных алгоритмов. Погрешность численного результата. Основные виды погрешности. Вопросы исследования устойчивости, сходимости и точности численных методов. Понятие об экономичных численных методах.
Тема 2. Задача интерполяции и аппроксимации функций
Постановка задачи интерполяции и аппроксимации функций.
Полиномиальная интерполяция. Полиномы в форме Лагранжа и Ньютона. Полином Чебышева и оптимальный выбор узлов интерполяции. Проблема сходимости полиномиальной интерполяции. Кусочно-полиномиальная интерполяция. Сплайн-интерполяция. Построение кубического сплайна и анализ сходимости сплайн-интерполяции. Обобщение методов интерполяции на многомерный случай. Равномерная аппроксимация функций. Среднеквадратическая аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.
Тема 3. Задачи линейной алгебры
Постановка задач линейной алгебры. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Вычисление определителей и обратной матрицы. Прямой метод Гаусса. Метод прогонки для систем с трехдиагональной матрицей. Итерационные методы. Анализ условий и скорости их сходимости. Плохо обусловленные системы. Оценка устойчивости системы по числу обусловленности матрицы.
Тема 4. Решение нелинейных уравнений
Итерационные методы решения нелинейного уравнения. Методы отделения корней. Методы табулирования, дихотомии и хорд.
Уточнение корней. Условия сходимости. Метод простой итерации, линейная сходимость. Метод Ньютона, квадратичная сходимость. Обобщение методов для решения систем нелинейных уравнений.
Тема 5. Численное дифференцирование и интегрирование
Получение формул численного дифференцирования и интегрирования на основе интерполяционного полинома Лагранжа. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций, метод Симпсона. Формулы Ньютона-Котеса. Формулы наивысшей точности и метод Гаусса. Вычисление кратных интегралов. Кубатурные формулы. Вычисление погрешности и уточнение. Методы Рунге и Эйткена. Некорректность операции численного дифференцирования и способы регуляризации.
Тема 6. Численные методы для дифференциальных уравнений
Методы решения задачи Коши. Одношаговые и многошаговые методы. Метод Эйлера и методы Рунге-Кутта. Оценка погрешности по Рунге. Повышение точности сгущением сетки. Конечно-разностные методы решения краевой задачи. Основные понятия теории разностных схем. Сеточные и разностные уравнения. Численные методы решения разностных уравнений. Стационарные краевые задачи. Прямые методы и итерационные методы. Метод прогонки.
1.6.1. Список рекомендуемой литературы
1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука,1989.
2. Турчак А.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987.
3. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: Высшая школа, 1990.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.
5. Мудров А.В. Численные методы для ПЭВМ на языках БЕЙСИК, ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ. - Томск: МП " Раско " , 1991.
1.7. Прикладной анализ данных
Тема 1. Оценки характеристик случайных данных
Основные задачи и этапы анализа случайных данных. Базовые интегральные преобразования и их свойства. Понятия о статистических ошибках. Оценки среднего значения и среднего квадрата стационарного процесса. Статистические ошибки определения плотности вероятности и совместной вероятности. Оценки корреляционных функций. Методы определения оценок спектральных плотностей. Оценки взаимной спектральной плотности. Оценивание характеристик линейных систем, по данным наблюдения на их входе и выходе. Планирование эксперимента, выбор длины реализаций случайных данных.
Тема 2. Цифровые алгоритмы анализа данных
Подготовка данных. Приведение временных рядов к нулевому среднему значению и единичной дисперсии. Дискретное преобразование Фурье и дискретная свертка функций. Быстрое преобразование Фурье. Определение численных оценок одномерной и совместной плотности распределения. Цифровые алгоритмы вычисления корреляционных функций. Определение оценок корреляционных функций на основе БПФ. Методы численной оценки энергетического спектра. Стандартный метод. Основы оценивания автоспектров. Сглаживание спектральных оценок. Наплывающие преобразования. Параметрические методы определения энергетических спектров. Численные алгоритмы оценки взаимных энергетических спектров. Определение функций когерентности. Моделирование случайных последовательностей на ЭВМ с заданными статистическими характеристиками. Цифровая фильтрация, рекурсивные и нерекурсивные фильтры, их реализация на ЭВМ.
Тема 3. Анализ основных свойств случайных данных
Анализ стационарности случайных последовательностей. Выделение и устранение тренда. Алгоритмы проверки наличия периодических составляющих в случайных данных. проверка нормальности. Анализ коррелированности и эквивалентности выборок случайных данных. Задачи корреляционного, спектрального и регрессионного анализа. Множественная линейная регрессия. Особенности практического применения регрессионных моделей. Средства анализа данных на персональных компьютерах. Применение корреляционного и спектрального анализа для идентификации систем. Корреляционные алгоритмы выделения сигналов на фоне помех.
1.7.1. Список рекомендуемой литературы
1. Дж. Бендат, А. Пирсол. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989.
2. Р. Отнес, Л. Эноксон. Прикладной анализ временных рядов. – М.: Мир, 1982.
3. С.Л. Марпл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. – М.: Мир, 1990.
4. Дж. Бендат, А. Пирсол. Применение корреляционного и спектрального анализа. – М.: Мир, 1983.
5. Л. Рабинер, Б. Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – М.: Мир, 1983.
6 Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. Анализ данных на компьютере. – М.: Финансы и статистика, 1995.
7. Д. Бриллинджер. Временные ряды. –М.: Мир, 1980.
7. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под ред. А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1970.
8. В.П. Иванченков, О.Н. Вылегжанин, Д.Ю. Степанов. Компьютерный анализ данных. Учеб. пособие. - Томск: Изд. ТПУ, 2000. - 72 с.
1.8. Математические основы общей теории систем
Тема 1. Система
Определение систем. Структурное представление систем и их графическое отображение. Классификация систем, задачи исследования. Особенности исследования систем во временной области, операторной и частотной форме.
Тема 2. Описание систем
Введение. Понятие системных функций. Системные функции во временной области. Основные временные характеристики систем. Операторная форма системных функций и преобразование Лапласа. Основные теоремы преобразования Лапласа для системных функций. Нули и полюса системных функций. Структурные преобразования. Представление структурных схем в виде графовых моделей. Формула Мэзона. Частотные методы исследования систем. Частотные передаточные функции и частотные характеристики систем. Диаграмма Боде. Классификация основных звеньев систем, их системные функции и характеристики.
Системы с обратной связью. Чувствительность систем. Динамические свойства систем, эластичность. Многомерные системы.
Векторно-матричная форма исследования систем. Уравнения состояния. Решение уравнений состояния. Переходная матрица. Нелинейные системы и их линеаризация. Эластичность многомерных систем.
Стохастические системы. Основные уравнения. Сопряженные системы.
Тема 3. Устойчивость систем
Введение. Устойчивость систем. Особые точки. Методы анализа. Критерий Гурвица. Частотные методы анализа устойчивости одномерных систем. Критерий Михайлова, Методы исследования устойчивости многомерных систем. Устойчивость нелинейных систем вблизи равновесного состояния и равновесной траектории. Первый метод Ляпунова. Второй метод Ляпунова. Функции Ляпунова линейных систем.
Тема 4. Управление системами
Введение. Управление системами. Задачи управления: стабилизация, программное и следящее управление, экстремальные системы управления. Законы управления, статистическая и динамическая ошибки управления.