ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
высшего профессионального образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
----------------------------------------------------------------------------------------------------
УТВЕРЖДАЮ:
Декан АВТФ
__________С.А. Гайворонский
« » ________________ 2009 г.
Методические указания
междисциплинарного экзамена по направлению
010500 "Прикладная математика и информатика"
Факультет автоматики и вычислительной техники
Обеспечивающая кафедра прикладной математики
Учебный план набора 2006 года
1. Методические указания междисциплинарного экзамена составлены на основе ГОС по направлению 010500 “Прикладная математика и информатика”, утвержденного 23 апреля 2000г. №200 ен/бак и стандарта СТП ТПУ 2.4.02-01 «Система образовательных стандартов. Методические указания учебной дисциплины. Общие требования к содержанию и оформлению».
рассмотренЫ и одобренЫ на заседании кафедры Прикладной математики (ПМ) «_____»__________2009 г., протокол № _____
2. Разработчик
доцент кафедры ПМ ___________Ф.А.Вадутова
доцент кафедры ПМ ___________В.Г.Гальченко
3. Зав. обеспечивающей кафедрой ПМ ____________ В.П.Григорьев
4. Методические указания СОГЛАСОВАНЫ с выпускающей кафедрой специальности; СООТВЕТСТВУЮТ действующему плану.
Зав. выпускающей кафедры ____________В.П.Григорьев
1. Содержание теоретического материала междисциплинарного экзамена
1.1. Геометрия и алгебра
Тема 1: Матрицы, определители
1. Матрицы. Частные виды матриц. Линейные операции над матрицами. Свойства линейных операций. Частичные суммы. Согласованные матрицы. Умножение матриц. Транспонирование матриц.
2. Перестановки, инверсии, число инверсий, факториал. Определение определителя n-го порядка. Определители 2-го и 3-го порядков. Система 2-х уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера.
3. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Дополнительные свойства определителя.
4. Методы вычисления определителей. Метод Лапласа, приведение определителя к треугольному виду.
5. Обратная матрица, теорема о существовании обратной матрицы. Методы вычисления обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Решение матричных уравнений.
6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования. Методы вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Метод окаймляющего минора. Теорема об неизменности ранга матрицы. Понятие линейной зависимости и независимости строк (столбцов) матрицы, связь с понятием ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.
Тема 2: Системы линейных алгебраических уравнений
1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения и классификация. Три основные задачи при исследовании систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли - критерий совместных систем.
2. Исследование произвольных систем на определенность. Метод Гаусса.
3. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о нетривиальности решений. Свойства решений однородной системы уравнений. Понятие фундаментальной системы решений. Связь между решениями неоднородной линейной системы и соответствующей ей однородной системой.
Тема 3: Векторная алгебра
1. Понятие вектора и линейные операции над ними. Коллинеарные и компланарные вектора. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.
2. Теорема о единственности разложения вектора по базису. Аффинная система координат. Декартова система координат, как частный случай аффинной. Направляющие косинусы вектора.
3. Проекция вектора на ось. Деление отрезка в заданном отношении. Свойства проекций вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства. Формулы скалярного произведения в декартовом базисе.
4. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Смешанное произведение векторов и его свойства. Теорема об объеме параллелепипеда. Теорема о компланарности векторов.
5. Полярная система координат. Связь между полярными координатами и прямоугольными. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Формула Муавра. Корни n-й степени из комплексного числа. Показательная форма комплексного числа.
Тема 4: Аналитическая геометрия прямых и плоскостей
1. Параметрическое задание поверхностей и линий на плоскости. Алгебраические поверхности и линии на плоскости 1-го порядка. Исследование поверхности и линии на плоскости 1-го порядка. Исследование общего уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Параметрическое задание прямых и плоскостей.
2. Взаимное расположение прямых на плоскости.
3. Взаимное расположение плоскостей. Взаимное расположение прямой и плоскости.
4. Нормальное уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Расстояние от точки до прямой на плоскости. От точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
Тема 5 : Кривые и поверхности 2-го порядка
1. Эллипс, гипербола и парабола и их свойства. Вывод канонического уравнения. Теорема об определении кривой 2-го порядка.
2. Каноническое уравнение кривых 2-го порядка. Инварианты. Классификация кривых 2-го порядка. Преобразование системы координат. (параллельный перенос, поворот на угол j).
3. Приведение к каноническому виду нецентральных кривых. Нахождение координат нового центра и уравнений новых осей.
4. Приведение к каноническому виду центральных осей. Определение вершины параболы.
5. Цилиндрические и конические поверхности 2-го порядка. Исследование формы поверхности 2-го порядка по их каноническим уравнениям.
Тема 6 : Линейное и евклидово пространство
1. Определение линейного пространства. Примеры конкретных линейных пространств. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Разложение вектора по базису. Теорема о единственности разложения.
2. Подпространства линейного пространства. Теорема о базисе линейного подпространства. Примеры подпространства. Линейная оболочка. Координаты вектора. Матрицы системы векторов.
3. Связь линейного пространства с системой линейных уравнений. Преобразование базиса. Матрица перехода вектора при преобразовании базиса. Изоморфизм линейных пространств.
4. Сумма и пересечение линейных подпространств.
5. Евклидово пространство. Аксиоматичность скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Норма вектора. Неравенство Минковского. Угол между векторами. Теорема Пифагора.
6. Ортогональный и ортонормированный базисы. Свойства ортонормированного базиса. Метод ортогонализации. Ортогональная матрица, как матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Тема 7: Линейный оператор
1. Определение линейного оператора. Действия над линейными операторами. Взаимообратные операторы. Тождественный оператор.
2. Матрица линейного оператора. Образ и прообраз. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
3. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Свойства собственных векторов. Оператор простой структуры. Ядро и область значений линейного оператора. Ранг и дефект.
4. Диагонализуемость линейного оператора. Теорема о диагонализуемости.
5. Линейный оператор в евклидовом пространстве. Сопряженный самосопряженный оператор.
Тема 8 : Квадратичные формы
1. Основные определения. Критерий Сильвестра. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.
1.1.1. Перечень рекомендуемой литературы
1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1985.
2. Гурский Е.И., Ершов. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Минск: Высшая школа, 1968.
3. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Минск: Высшая школа, 1986.
4. Рублев Л.Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1972
5. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1985
6. Клетеник В.Г. Сборник задач по аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1986.
7. Костриков А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. - М.: МГУ, 1980.
8. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -- М.: Наука, 1979.
9. Беклемишев Д.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1990.
10. Добротин Д.А. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. – Л.: Наука, 1977.
11. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Наука, 1977.
12. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. - М.: Наука, 1974.
13. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. - М.: Наука, 1967.
14. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1985.
1.2. Информатика
Тема 1. Введение в информатику.
1. Предмет и методы информатики.
2. Понятия информации, информатики.
3. Развитие информатики (методологический аспект).
4. Методы и средства информатики.
5. Приложения информатики.
6. Основы применения компьютеров.
Тема 2. Организация вычислительных систем
1. Определение вычислительной системы.
2. Архитектура современных ПЭВМ.
3. Структура микропроцессора, регистры и адресация.
4. Сегментация памяти компьютера.
5. Технические характеристики.
6. Периферийные устройства.
7. Виды машинной памяти.
8. Назначение и функции ROM, RAM, FD, HD, CD-ROM.
Тема 3. Функционирование компьютера и операционные системы
1. Программное обеспечение ПЭВМ.