Методические указания к учебно-исследовательской работе с использованием ЭВМ (уирс) для студентов 2 курса физического факультета Иваново (стр. 3 из 4)

Действительно, запишем уравнение Пуассона [1]

(26)

где

- модуль плотности заряда электронного облака (заряд электрона (-e)<0). В цилиндрических координатах уравнение (26) принимает вид

(27)

Вследствие цилиндрической симметрии

и т.е.

. (28)

Пусть

- плотность тока и - скорость дрейфа электронов. Тогда

(29)

Будем считать, что радиус катода

(на практике ) и начальная дрейфовая скорость электронов у катода ( дрейф электронов около катода затруднен из-за высокой плотности электронного облака). Тогда

(30)

С учетом (29) и (30) из (28) имеем:

(31)

где было учтено, что в каждой точке вектор

направлен вдоль т.е.

( - плотность тока на аноде).

Краевые условия для U = U(r) имеют вид:

(32)

Последнее условие в (32) связано с тем, что катод экранирован электронным облаком.

Будем искать решение уравнения (31) с краевыми условиями (32) в форме

(33)

Тогда, подставляя (33) в (31), с учетом (32) получим:

(34)

Таким образом, с учетом площади цилиндрического анода

, где - осевая длина анода (катода), анодный ток равен

(35)

где

(36)

При наличии магнитного поля с индукцией

, направленной по оси Z (вдоль катода или анода), вместо (35) – (36) будем приближенно иметь (

(37)

где

- угол между вектором (или дрейфовой скоростью в (29)) и радиусом-вектором на аноде ( в соответствии с формулой (25) при .

Аналогичным образом рассматривается движение электронов в магнетроне с плоскими электродами. В этом случае удобно использовать декартовые координаты x,y,z. При этом ось X направлена перпендикулярно к параллельным электродам, так что значение x = 0 отвечает положению катода, вдоль которого направлены оси Y и Z, а x = d – положению анода (d – расстояние между электродами).

Пусть магнитное поле

направлено вдоль оси Z (т.е. параллельно катоду и аноду). Тогда по аналогии с (3) – (9) имеем:

(38)

При этом напряженность

электрического поля параллельна оси X .

Начальные условия имеют вид:

(39)

Интегрируя второе уравнение системы (38), получим с учетом (39)

(40)

Подставляя далее (40) в первое уравнение системы (38), получим в соответствии с начальными условиями (39)

(41)

В (41) было учтено, что разность потенциалов произвольной точки между электродами и катода

(см. (15) – (22)).

Пусть

- угол между скоростью электрона и осью X. Тогда и следовательно по (40) – (41) на аноде (x = d)

(42)

где анодное напряжение

.

Из (42) следует, что, во-первых, критическое значение индукции магнитного поля (когда

и электроны не попадают на анод)

, (43)

а во-вторых, вольт-амперная характеристика (ВАХ) магнетрона с плоскими электродами вдали от режима насыщения по аналогии с (26) – (37) имеет вид:

(44)

где

(S – площадь анода) и . При этом из (26) вместо (31) возникает уравнение [1] (

(45)

с начальными условиями

(46)

Численные методы

Для нахождения траектории движения электрона в магнетроне или ВАХ магнетрона нужно использовать соответствующие дифференциальные уравнения, которые следует решать численно с использованием средств компьютерной техники [3]. Так, для цилиндрического магнетрона в режиме насыщения с начальными условиями (10) из (13) – (17) имеем:

(47)

причем

и a, b, c определены в (16).

Для решения уравнения (47) выбирается малый шаг h изменения угловой переменной

, так что (по Тэйлору)

(48)

В (48)

выражается из уравнения (47).

Равенство (48) составляет ядро вычислительного алгоритма решения уравнения (47). Этим решением является функция

описывающая в полярных координатах траекторию движения электрона.