Методические указания к дисциплине и задания к контрольным работам для студентов заочной формы обучения по специальности 140211 «Электроснабжение» Учебно-методический комплекс (стр. 4 из 11)
Электростатическое поле может создаваться точечными зарядами величиной Q, зарядами распределенными по поверхности с плотностью - σ, линейно распределенными зарядами с плотностью – τ, а также системой состоящей из названных возбудителей поля.
При решении задач электростатики предполагается, что движения свободных зарядов внутри проводника нет. Поэтому весь заряд электрода Q распределяется только по поверхности (σ≠0), а поле внутри проводника становится равным нулю (D=0; E=0). Тогда граничные условия (6.28, 6.29) на поверхности проводника примут вид:
Eτ2=0 Dτ2=0 ,
D=Dn2=σ (6.33)
т.е. на поверхности проводящего тела вектор электрической индукции изменяется скачком на величину поверхностной плотности свободного заряда в данной точке, а направление вектора совпадает с направлением внешней нормали к поверхности проводника n.
Условие (6.33) с учетом (6.24) принимает вид
(6.34)и его называют граничным условием Неймана, записанным в дифференциальной форме. То же граничное условие в интегральной форме
(6.35)где под Q понимают суммарный заряд электрода.
Поверхность электрода является эквипотенциальной поверхностью, что записывают в виде
φs = const (6.36)
и называют граничным условием Дирихле.
Прямая задача электростатики
Во многих случаях приходится решать сложные задачи, из которых наиболее типичными являются следующие:
1. Нахождение поля при неизвестном местоположении исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. В инженерной практике потенциалы электродов обычно задаются источниками питания и могут быть измерены или вычислены.
2. Нахождение потенциала электрического поля, создаваемого заданным распределением объёмных электрических зарядов ρ (x, y, z) в пространстве. Прямой метод вычисления потенциала электрического поля φ(x, y, z) в этих задачах состоит в решении уравнения Пуассона (6.36), которое в декартовой системе координат принимает вид
(6.37)
или уравнения Лапласа (1.5):
(6.38)
Для получения единственного решения уравнения (6.37) или (6.38) необходимо дополнить их граничными условиями. Различают три типа граничных условий:
1. Граничное условие Дирихле: значение φ задано на некоторой замкнутой области. Обычно это проводящая поверхность или поверхность электрода, потенциал которой постоянен (см. 1.14).
2. Граничное условие Неймана: на границе области задана нормальная производная функции потенциала φ (см. 6.34 или 6.35). Это граничное условие определено поверхностной плотностью заряда σ, которое также поддаётся анализу для широкого круга задач. К граничным условиям Неймана следует также отнести задание точечных - q и линейных – τ зарядов.
3. Смешанная краевая задача (на границе задается линейная комбинация потенциала φ и его нормальной производной).
Целью расчёта является нахождение потенциала φ и напряженности поля E по заданному расположению и форме заряженных тел – электродов – и граничным условиям. Такая задача называется прямой задачей. Если плотность заряда в каждой точке пространства известна, то потенциал как функция положения определяется уравнением Пуассона. Если же требуется найти поле в диэлектрике, содержащем заряженные проводящие тела, то ищут решение уравнения Лапласа, т.е. решают прямую задачу электростатики в постановке Неймана или Дирихле. При этом совокупность всех проводящих тел образуют границу области существования поля. Эта задача имеет единственное решение, если найденная потенциальная функция удовлетворяет уравнению Лапласа и заданным граничным условиям.
Теорема единственности
Уравнение Лапласа как уравнение в частных производных допускает бесчисленное множество линейно независимых частных решений; в этом находит свое математическое отражение бесконечное разнообразие полей, которые могут быть возбуждены заряженными проводниками. Обычно требуется определить поле, если известны форма и расположение проводников и диэлектриков и неоднородные граничные условия:
а) потенциалы проводников,
б) суммарный заряд каждого проводника, потенциал которого не известен.
При этом необходимо иметь критерий, который позволил бы отобрать из всевозможных решений уравнения Лапласа то решение, которое соответствует именно данной задаче. Такой критерий устанавливается теоремой единственности: решение, удовлетворяющее уравнениям поля и граничным условиям данной задачи, является единственным.
Из теоремы единственности вытекают два следствия, имеющие важное прикладное значение.
Следствие 1. Электростатическое поле (и соответствующее ему решение) в некотором объеме, ограниченном равнопотенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, т. е. превратятся в границы проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы.
Следствие 2. Электростатическое поле по одну сторону поверхности S (необязательно равнопотенциальной) не изменится, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S.
Вновь распределенные заряды называются изображениями преобразованных зарядов, а основанный на таком преобразовании метод расчета называется методом изображений. Оба следствия позволяют значительно расширить область применения интегральных форм уравнений электростатики для расчета полей.
6.2.2.3 Пример решения задачи
Практический интерес представляют задачи, в которых электрическое поле создается несколькими проводниками с разными потенциалами, находящимися в диэлектриках с различными диэлектрическими проницаемостями. Нахождение аналитического решения уравнения Лапласа для таких задач связано с большими трудностями. Как правило, подобные задачи решаются численными методами. Расчет электрических полей в расчетно-графической работе рекомендуется проводить с помощью специализированного программного комплекса ELCUT. Данный программный продукт позволяет провести моделирование конструкции и численными методами рассчитать параметры электрического поля в любой точке заданной области. Решение задачи иллюстрируется цветной картиной поля.
Рассмотрим процесс решения задачи на примере двухпроводной линии, рис.6.1. В этой линии один проводник имеет круглое сечение другой прямоугольное. Линия находится внутри диэлектрика прямоугольного сечения, и вся эта конструкция находится в воздушном пространстве с электрическим полем напряженностью Е, направленной слева на право.
Геометрические размеры проводников:
d=1см, b=3см, l=2,5см, a=5 см, c=8 см, h=2,5 см.
Относительная диэлектрическая проницаемость:
- воздуха ε=1.
- диэлектрика ε=4.
Напряженность поля E=5 кВ/м.
Требуется построить картину поля.
Рис.6.1. Двухпроводная линия в диэлектрике
6.2.2.3.1. Работа с меню
После запуска ELCUT появляется окно, в котором предлагается просмотреть примеры решения некоторых задач. После его закрытия появляется форма (рис.6.2), в верхней части которой расположены главное меню, ниже панель с копками инструментов, которые позволяют ускорить работу.
Рис.6.2. Главное меню и кнопки программы ELCUT.
При наведении указателя мыши на кнопку появляется подсказка о назначении этой кнопки.
В правой части формы находится справочное окно с подсказками. Подсказки, а точнее справочные материалы сопровождаю процесс работы с системой, автоматически вводя нужный раздел справки. При желании окно можно закрыть, щелкнув по крестику расположенному в правом верхнем углу. После отключения справки вернуть ее обратно можно с помощью клавиш Ctrl+F1, или нажатием кнопки
на панели инструментов.После первого запуска программы левая и центральная части формы не заполнены. По мере выполнения задачи они постепенно будут заполняться.
Главное меню содержит разделы: Файл, Правка, Вид, Сервис, Окна и «?». Каждый раздел имеет соответствующие пункты. Выбор пункта меню осуществляется с помощью мыши или «горячих» клавиш. Сочетание «горячих» клавиш и их назначение приводится в виде подсказки в меню.
6.2.2.3.2. Описание новой задачи
Описание новой задачи начинается с меню Файл/Создать задачу…(Ctrl+N). Также можно использовать кнопку
, которая расположена на инструментальной панели.В новой форме «Создание задачи» (рис. 6.3) задайте имя файла задачи (в данном случае это «electro1») и укажите путь к папке хранения задачи (окно создать в папке). По умолчанию это C:\Documents and Settings\user1. Его можно не менять.
После выполнения указанных действий нажмите кнопку Далее>.
В случае возникновения вопросов можно воспользоваться кнопкой Справка. В окне справки можно получить подробные пояснения.