Методические указания к изучению дисциплины введение (стр. 3 из 7)
Вопросы для самопроверки
1. Как получить последовательность случайных величин, распределенных по заданному закону?
2. Как вычислить определенный интеграл методом имитационного моделирования?
3. Как определить вероятность того, что заявка получит отказ при моделировании процесса функционирования одноканальной СМО?
4. Как преобразовать модель СМО с ограниченным временем ожидания в модель СМО с отказами?
1.3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В большинстве практических случаев трудно построить точную математическую модель рассматриваемого процесса, с помощью которой можно было бы найти характеристики эффективности процесса в зависимости от определяющих параметров. Однако это удается сделать, когда исследуемая система (задача, процесс) может быть представлена в терминах марковских случайных процессов.
Пусть рассматривается некоторая физическая система. Под физической системой может подразумеваться ЭВМ, предприятие, любое техническое устройство, АСУ и т. п. Состояние этой системы меняется с течением времени (т. е. она переходит из одного состояния в другое случайным образом). Обычно можно сказать, что в этой системе протекает случайный процесс. Труднее найти пример системы, в которой происходит неслучайный процесс. В общем случае можно считать, что случайные воздействия присущи любому процессу. Просто в связи с трудностью учета этих случайных воздействий часто ими пренебрегают и процесс рассматривается как детерминированный, неслучайный. И только в том случае, когда учет случайных факторов непосредственно влияет на результаты исследования, приходится принимать их во внимание.
Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским (или «процессом без последствия»), если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем (при t > t0) зависят только от его состояния в данный момент времени t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).
В практической деятельности часто удается с некоторой степенью приближения свести случайные процессы к марковским. Теория марковских случайных процессов является разделом теории вероятностей и получила сейчас очень широкое распространение.
Студенту необходимо знать, что случайные процессы можно подразделить на процессы с дискретными состояниями и на процессы с непрерывными состояниями. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы можно заранее перечислить (перенумеровать), а переход системы из состояния в состояние происходит скачком (мгновенно). Примером процесса с дискретными состояниями может быть процесс перехода технического устройства из одного состояния в другое: исправно, неисправно, осматривается, ремонтируется и т.д. В качестве примера случайного процесса с непрерывными состояниями (плавный переход из состояния в состояние) можно привести процесс изменения напряжения в осветительной сети.
Для наглядности изображения случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться графами состояний. Вершины графа - это состояния системы, а дуги – возможные переходы из состояния в состояние.
Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени. В промежутках времени между этими моментами система сохраняет свое состояние.
Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние возможен в любой случайный момент времени.
Случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si в любое состояние Sj не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si. Марковская цепь описывается с помощью вероятностей состоянии.
Обычно ставится следующая задача: найти вероятности состояний системы pi(k) для любого k. Для этого удобно пользоваться графом состояний системы. При этом марковская цепь представляется точкой, перемещающейся по графу и перескакивающей из состояния в состояние в моменты времени t1, t2, …, tk, … или задерживающейся в некоторых состояниях. Очевидно, что для любого tkсуществуют вероятности перехода системы из состояния Si в Sj (некоторые из них могут равняться нулю при невозможности перехода), а также существуют вероятности задержки системы в определенных состояниях. Они называются переходными вероятностями марковской цепи.
Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага. В противном случае марковская цепь называется неоднородной.
При использовании графа состояний марковской цепи на нем у стрелок обычно ставят соответствующие вероятности Pij и такой граф называется размеченным. Вероятности Piiна таком графе не проставляются в связи с тем, что они легко вычисляются, так как каждая из них дополняет до единицы сумму вероятностей, соответствующих стрелкам, исходящим из данной вершины (данного состояния).
Как определить вероятности состояний pi(k) 
после любого k-го шага, если известны матрица переходных вероятностей и начальное состояние системы? Пусть известно, что перед первым шагом (в начальный момент времени) система находится в состоянии Sm. После k-го шага:
При освоении материала данного раздела необходимо помнить, что марковские процессы (марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем), имея простую структуру, легко описываются математически. Однако практика показывает, что не все процессы массового обслуживания являются марковскими. При наличии последействия во входящем потоке требований или в потоке обслуживания случайный процесс в СМО является уже немарковским и при этом весь математический аппарат становится значительно более сложным. В связи с этим разработаны специальные методы исследования немарковских случайных процессов в СМО, но они выходят за пределы данного курса.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение марковской цепи.
2. Изложите методику составления уравнений Колмогорова.
3. Составьте систему уравнения Эрланга для конкретного примера.
1.4. НЕЧЕТКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Этот раздел посвящен основам оперирования нечеткими понятиями - нечеткими множествами, нечеткой логикой. Эти понятия отличаются от традиционной формальной логики, известной со времен Аристотеля и оперирующей точными и четкими понятиями, такими как «да» или «нет», «истина» или «ложь», «единица» или «ноль», тем, что нечеткая логика имеет дело со значениями, лежащими в некотором (непрерывном или дискретном) диапазоне. Очевидно, что оперировать нечеткими величинами (понятиями) много труднее, чем двоичными битами. Но жизнь и практика постоянно ставят новые задачи, так как оказалось, что понятия повседневной деятельности не укладываются в рамки классической бинарной логики.
Можно привести только несколько примеров из повседневной практики. Какой момент считать началом жизни живого существа? Какое значение веса отличает толстого человека от худого? Какую прибыль можно считать средней, какую хорошей, а какую сверхприбылью? Если формально «загонять» перечисленные понятия в конкретные границы, то это может привести к значительному усложнению задачи или к недопустимому огрублению предметной области.
Джон фон Нейман (один из основоположников кибернетики) отмечал, что стремление получить точную, исчерпывающую модель для достаточно сложного объекта (процесса) не имеет смысла, поскольку сложность такого описания становится соизмеримой со сложностью самого объекта. Следовательно, использование такой модели не позволит просто и наглядно объяснить механизм его функционирования, воспользоваться какими-либо стандартными математическими процедурами для исследования характеристик объекта и синтеза системы управления им. Это особенно относится к таким объектам управления, как производственные процессы, организационные, транспортные, биологические системы.
Более того, согласно знаменитой теореме FAT (Fuzzy Approximation Theorem) любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике.
Становление, развитие и применение теории нечеткой логики и нечеткого управления началось с 1964 года в результате публикации Л.А. Заде статьи «Нечеткие множества» («Fuzzy Sets”).
Выражаясь словами Л.А. Заде, «в большинстве основных задач, решаемых человеком, не требуется высокая точность. Человеческий мозг использует допустимость такой неточности, кодируя информацию, «достаточную для задачи» (или «достаточную для решения»), элементами нечетких множеств, которые лишь приближенно описывают исходные данные. Поток информации, поступающий в мозг через органы зрения, слуха, осязания и др., суживается, таким образом, в тонкую струйку информации, необходимой для решения поставленной задачи с минимальной степенью точности. Способность оперировать нечеткими множествами и вытекающая из неё способность оценивать информацию является одним из наиболее ценных качеств человеческого разума, которое фундаментальным образом отличает человеческий разум от так называемого машинного разума… Наш мир состоит не из одних нулей и единиц - нам нужна более гибкая логика для того, чтобы представлять реальные взаимосвязи… Нужны подходы, для которых точность, строгость и математический формализм не являются чем-то абсолютно необходимым и в которых используется методологическая схема, допускающая нечеткости и частичные истины».