Методические указания к изучению дисциплины введение (стр. 6 из 7)
Задача 4. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Каково должно быть число опытов (реализаций) для того чтобы с заданной вероятностью Q можно было ожидать, что частота m/N события А отклонится от его вероятности р меньше, чем на заданную величину e?
Исходные данные в этой задаче определяются следующим образом:
р = |n - m| * 0,1 + n * m * 0,01,
e = n * m * 0,001 + 0,001.
Задача 5. Для однородной марковской цепи, матрица переходных вероятностей которой представлена в условии задачи 2, рассчитать вероятности состояний pi (k) для k = 0, 1, 2, 3 при условии, что при k = 0 система находилась в состоянии номер w (Aw). При этом w определяется по следующим зависимостям:
w = 1 при n и m четных,
w = 2 при n и m нечетных,
w = 3 при n четном и m нечетном,
w = 4 при n нечетном и m четном.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2
Задача 6. Составить систему алгебраических уравнений для нахождения предельных вероятностей состояний системы, граф которой может быть построен на основании использования матрицы переходных вероятностей, приведенной в задаче 2, и в которой необходимо считать величины pij (вероятности перехода системы из состояния Аi в состояние Аj) величинами плотностей вероятностей перехода λij из i-го состояния в j-е.
Задача 7. Для процесса «размножения и гибели», количество состояний которого равно 5 (т.е. Si - это S0, S1, S2, S3, S4) построить размеченный граф состояний и рассчитать вероятности состояний. При этом величины λij для i, изменяющихся от 0 до 3, и j - от 1 до 4, представленных в первом столбце табл. 2, а величины λji - во втором столбце, для различных значений n и m выбираются из третьего столбца.
Таблица 2
| Значения i и j | Значения j и i | λij и λji |
| 1 | 2 | 3 |
| i=0, j=1 | - | (n+m)+0,1 |
| i=1, j=2 | j=4, i=3 | n+0,4m |
| i=2, j=3 | j=3, i=2 | n+0,3m |
| i=3, j=4 | j=2, i=1 | n+0,2m |
| - | j=1, i=0 | n+0,1m |
Задача 8. Система массового обслуживания (СMО) имеет n + 2 равноправных каналов и обслуживает поток заявок с интенсивностью l = n + 1 (1/мин). Интенсивность обслуживания заявок одним каналом m = m + 2 (1/мин). Потоки заявок и обслуживания считать пуассоновскими. Длина очереди ограничена и равна m. Если n и m имеют значения, большие пяти, то количества каналов и мест в очереди вычисляются путём деления значений n и/или m на 2 с округлением до целого.
Построить размеченный граф состояний системы. Найти характеристики СМО: вероятности состояний системы, вероятность отказа, относительную пропускную способность системы, абсолютную пропускную способность и среднее количество занятых каналов.
Задача 9. Разработать моделирующий алгоритм для СМО, параметры которой приведены в задаче 8, в предположении, что модель реализуется методом имитационного моделирования. В алгоритме предусмотреть расчет характеристик с точностью
e = 0,01*n + 0,1.
При обработке результатов моделирования предусмотреть вычисление следующих величин: вероятность обслуживания заявок, вероятность отказа в обслуживании, производительность системы, среднее время пребывания заявок в системе.
Задача 10. Разработать пример задачи нечеткого вывода. Знания о рассматриваемой предметной области (она выбирается студентом самостоятельно, исходя из личных пристрастий или производственной заинтересованности) представляются в форме эвристических правил продукций.
Для выбранной предметной области рассмотреть входные и выходные лингвистические переменные и правила нечетких продукций. Определить функции принадлежности для входных и выходных переменных. Получить графики результата нечеткого вывода для конкретных значений входных переменных.
5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Задачи 1, …, 4 и 9 относятся к разделу имитационного моделирования, 5, …, 8 – аналитического моделирования, а задача 10 - нечеткого моделирования.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1
Задача 1. Эта задача посвящена освоению процедуры моделирования дискретной случайной величины.
Для начала необходимо освоить алгоритм выбора варианта задания. Пусть шифр студента заканчивается цифрами 3 и 7 (n = 7, m = 3), а для года выполнения работы 2004 z = 4. Это значит, во-первых, что необходимо реализовать сложное событие, зависящее от двух независимых событий А и В. В соответствии с приведенными формулами в тексте задачи, вероятности состояний вычисляются следующим образом:
pА = |m - n| * 0,02 + (n + m) * 0,01 + 0,1 =
= |3 – 7|*0,02+(7 + 3) * 0,01+0,1=4*0,02 +10 *0,01+0,1 = 0,28;
pB = 0,01 * (n + m) + 0.30 = 0,01 * (7 + 3) + 0,3 = 0,40.
Таким образом, определены исходные данные: вероятность pA наступления события A равна 0,28, а вероятность pB = 0,40.
Теория этого вопроса приведена в учебном пособии [1] на с.44-45, а пример реализации на с. 46.
Если же в соответствии с условием задачи будет необходимо реализовать сложное событие, состоящее из двух зависимых событий А и В (в случае, когда год выполнения работы заканчивается на нечетную цифру), тогда необходимо вычислить и значение условной вероятности р(В/A):
p(B/A) = |n - m| * 0,02 + 0,35 = |3 – 7| * 0,02 + 0,35 = 0,43.
Теория же этого вопроса приведена на с. 46-47 того же учебного пособия, а пример реализации - на с.47-48.
Задача 2. Задача посвящена освоению методики моделирования однородной цепи Маркова. Расчет величин переходных вероятностей матрицы П аналогичен процедуре расчета, изложенной в предыдущей задаче. При этом нужно помнить, что сумма вероятностей в строке матрицы П должна равняться единице. Пусть для v = 4 и после подстановки значений n и m в формулы первой строки матрицы П получены значения вероятностей: p11 = 0,14, p12 = 0,25, p13 = 0,06. Это значит, что величина вероятности р14 вычисляется как единица минус сумма всех остальных вероятностей в строке, т.е. р14 = 1 – (0,14+0,25+0,06) = 0,45.
Теория реализации однородной цепи Маркова приведена на с.48-49, а пример - на с. 49-50.
Задача 3. Теория и методики получения последовательностей случайных величин с заданным законом респределения приведены на с. 50 – 57 учебного пособия [1], там же есть и примеры реализации этих методик.
Задача 4. Эта задача посвящена освоению методики определения количества реализаций процесса имитационного моделирования, для того чтобы получить результаты имитации с требуемой точностью.
Этот вопрос излагается в параграфе 2.7 учебного пособия [1].
Если опять считать, что шифр студента оканчивается цифрами 3 и 7, то исходные данные в этой задаче определяются следующим образом:
р = |n - m| * 0,1 + n * m * 0,01 = |7 –3|*0,1 + 7 * 3 * 0,01 = 0,61,
e = n * m * 0,001 + 0,001 = 7 * 3 *0,001 + 0,001 = 0,022 ≈ 0,02.
Задача 5. Для решения этой задачи необходимо ознакомиться с содержанием параграфа 4.1 учебного пособия [1], сама методика и пример расчета приведены на с. 107-112.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2
Задача 6. Данная задача посвящена закреплению знания теоретического метериала, изложенного в параграфе 4.4 учебного пособия [1]. Сама методика и пример находятся на с.124-127.
Задача 7. Решение этой задачи необходимо начинать только после ознакомления с материалом параграфа 4.5 учебного пособия [1]. В этом параграфе, расположенном на с. 127-131, есть и пример расчета.
Если шифр студента по-прежнему заканчивается на теже цифры 3 и 7, то, пользуясь табл. 2, можно получить следующие значения величин λij и λji в качестве исходных данных:
λ01 = 10,1; λ12 = 8,2; λ23 = 7,9; λ34 = 7,6;
λ43 = 8,2; λ32 = 7,9; λ21 = 7,6; λ10 = 7,3.
Задача 8. Задача посвящена овладению аналитических методов определения характеристик СMО. Этот материал находится в учебном пособии [1] на стр. 133-158. Там же приведены примеры расчёта.
Для цифр шифра 37 количество каналов в СМО будет равно 9, количество мест в очереди - 3, интенсивность входного потока заявок l = 6 (1/мин), а интенсивность обслуживания m = 5 (1/мин). Таким образом, рассматривается СМО вида М/M/9/3 с характеристиками потоков l = 6 и m = 5. Это многоканальная СМО с ограниченной очередью (см. с.143-148 [1]).
Если в шифре студента m = 0, то это СМО с отказами (без очереди) - с. 133-140.
В случае, когда n = 1 - это одноканальная СМО (с. 143-148). А если и m = 0, то это одноканальная СМО с отказами (с. 140-142). Если же n = 0, то такой вариант недопустим, и необходимо количество обслуживающих каналов принять равным пяти.
При решении задачи необходимо выполнять определенную последовательность этапов (указанную на с. 137), а именно: построение графа состояний, разметка графа, вычисление величин pi, вычисление показателей эффективности Ротк, q, A и k.
Задача 9. Как указано в задании, исходные данные для этой задачи берутся из условия задачи 8. То есть, как выбрано в предыдущей задаче, это, например, СМО с девятью каналами и тремя местами в очереди. Небходимо разработать моделирующий алгоритм для такой СМО. В учебном пособии [1] этот материал расположен в главе 3 (с. 74-103).