Интерес представляют следующие ключевые параметры:
δP — отклонение в полосе пропускания;
δS — отклонение в полосе подавления;
fр — граничная частота полосы пропускания;
fS — граничная частота полосы подавления.
Отклонения в полосе пропускания и полосе подавления могут выражаться как обычные числа или в децибелах, когда они выражают неравномерность в полосе пропускания и затухание в полосе подавления соответственно. Следовательно, минимальное затухание в полосе подавления АS и максимальная неравномерность в полосе пропускания АP в децибелах записываются следующим образом (для КИХ-фильтров):
АS (затухание в полосе подавления) = -20lgδS,
Ар (неравномерность в полосе пропускания) = 20lg(l + δP).
При спецификации фазовой характеристики цифровых фильтров во многих случаях достаточно указать, что фазовое искажение существенно или что желательна линейная фазовая характеристика. В то же время, в некоторых приложениях, где фильтры используются для выравнивания или компенсации фазовой характеристики системы или как фазовращатели, фазовую характеристику задавать следует.
2. Расчет коэффициентов.
На этом этапе выбирается один из методов аппроксимации и вычисляются значения коэффициентов для КИХ-фильтра или БИХ-фильтра, при которых удовлетворяются условия, принципы определения которых представлены требованиях к фильтру.
Метод вычисления коэффициентов фильтра зависит от того, к какому классу относится фильтр — КИХ или БИХ.
Вычисление коэффициентов БИХ-фильтра традиционно основывается на преобразовании характеристик известных аналоговых фильтров в характеристики эквивалентных цифровых. Существует три основных подхода:
· Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики и
· Метод билинейного преобразования.
· Размещение нулей и полюсов (БИХ).
При использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики после оцифровки аналогового фильтра сохраняется импульсная характеристика исходного аналогового фильтра, но не сохраняется амплитудно-частотная характеристика. Вследствие внутреннего наложения данный метод не подходит для фильтров верхних частот или режекторных фильтров.
Билинейный метод, с другой стороны, обеспечивает весьма эффективные фильтры и хорошо подходит для вычисления коэффициентов частотно-избирательных фильтров. В результате можно создавать цифровые фильтры с известными классическими характеристиками, такими как в фильтрах Баттерворта, Чебышева или эллиптических.
Цифровые фильтры, полученные методом билинейного преобразования, будут, в общем случае, иметь ту же амплитудную характеристику, что и аналоговые, но иные свойства во временной области. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики хорош при моделировании аналоговых систем, но для частотно-избирательных БИХ-фильтров лучше использовать билинейный метод.
В качестве альтернативной схемы вычисления коэффициентов БИХ-фильтров применяется еще метод размещения нулей и полюсов — простой путь вычисления коэффициентов очень простых фильтров. В то же время, для фильтров с хорошей амплитудной характеристикой данный метод использовать не рекомендуется, поскольку в нем фигурирует перебор положений нулей и полюсов.
Коэффициенты КИХ-фильтров также можно вычислить несколькими различными способами:
· Вырезания (взвешивания),
· Частотной выборки
· Оптимальный (алгоритм Паркса-Мак-Клиллана (Parks-McClellan)).
Метод взвешивания предоставляет очень простой и гибкий способ вычисления коэффициентов КИХ-фильтра, но не позволяет разработчику адекватно управлять параметрами фильтра. Самой привлекательной чертой метода частотной выборки является то, что он допускает рекурсивную реализацию КИХ-фильтров, что может быть весьма вычислительно выгодно. В то же время, этому методу недостает гибкости в плане управления или задания параметров фильтров.
В настоящее время в промышленности широко используется оптимальный метод (в совокупности с дополняющей его эффективной и простой в использовании программе), который в большинстве случаев дает требуемый КИХ-фильтр. Следовательно, при проектировании таких фильтров вначале стоит испробовать оптимальный метод, если только конкретное приложение не предусматривает использования другого метода.
На выбор метода, наиболее подходящего для конкретной задачи, влияют несколько факторов, в частности, критичные требования в спецификациях. Вообще, основным является выбор между КИХ и БИХ. Если наличие конечной импульсной характеристики существенно, то стоит использовать оптимальный метод, если же желательна бесконечная импульсная характеристика, то в большинстве случаев будет достаточно билинейного метода.
3. Представление фильтра подходящей структурой.
Данный этап включает преобразование данной передаточной функции H(z) в подходящую фильтрующую структуру. Для отражения структуры фильтра часто используются блок-схемы или функциональные схемы, на которых для облегчения реализации цифрового фильтра показывается ход вычислений. Используемая структура зависит от выбора КИХ- или БИХ-фильтра.
Для БИХ-фильтров широко используются три формы реализации:
· Прямая
· Каскадная
· Параллельная.
Прямая форма — это непосредственное представление передаточной функции БИХ-фильтра.
В каскадной форме передаточная функция БИХ-фильтра факторизуется и выражается как произведение звеньев второго порядка.
В параллельной форме H(z) раскладывается (с использованием элементарных дробей) на сумму звеньев второго порядка.
При разработке БИХ-фильтров наиболее широко используются параллельная и каскадная структуры, поскольку они предоставляют более простые алгоритмы фильтрации и менее чувствительны к эффектам реализации с использованием конечного числа битов, чем фильтры с прямой структурой. Последние в подобных случаях весьма уязвимы, поэтому их следует избегать любой ценой.
Для КИХ-фильтров широко используется три формы:
· Прямая
· Частотной выборки
· Быстрой свертки
Наиболее используемой является прямая структура, поскольку ее проще всего реализовать. В такой форме КИХ-фильтр иногда называется линией задержки с отводами (tapped delay line) или трансверсальным фильтром. По сравнению с трансверсальной структурой, реализация по схеме частотной выборки может быть вычислительно более эффективной, поскольку она требует расчета меньшего числа коэффициентов. Однако ее бывает не так просто реализовать, и она может требовать больше памяти. При быстрой свертке используются вычислительные преимущества быстрого преобразования Фурье (БПФ), и она особенно привлекательна в ситуациях, когда дополнительно нужно вычислить спектр сигнала.
Существует множество других практических структур цифровых фильтров, но большинство из них популярны только в определенных сферах. Пример — решетчатая структура, которая используется в сферах обработки речи и линейного предсказания.
Для данного фильтра выбор между структурами зависит от следующих факторов:
1) какая требуется характеристика (конечная или бесконечная);
2) простота реализации;
3) насколько структура чувствительна к эффектам конечной разрядности.
4. Анализ влияния конечной размерности
Этапы аппроксимации и реализации предполагают работу с бесконечной или очень высокой точностью. В то же время, в настоящих реализациях часто требуется представить коэффициенты фильтра конечным числом битов (обычно от 8 до 16 бит), кроме того, арифметические операции, указанные в разностных уравнениях, выполняются с использованием арифметики конечной точности.
Влияние конечного числа битов проявляется в снижении производительности фильтра, и в некоторых случаях фильтр может стать неустойчивым. Разработчик должен проанализировать данные эффекты и выбрать подходящую длину слова (т.е. число битов) для представления коэффициентов фильтра, переменных фильтра (т.е. входных и выходных выборок) и выполнения арифметических операций в фильтре.
Перечислим основные источники ухудшения производительности фильтра.
· Квантование сигнала на входе-выходе. В частности, шум АЦП вследствие квантования входных выборок сигнала — это существенная величина
· Квантование коэффициентов. Данный фактор приводит к искажению частотных характеристик КИХ- и БИХ-фильтров и возможной неустойчивости БИХ-фильтров.
· Ошибки округления. Использование для фильтрации арифметики конечной точности дает результаты, представление которых требует дополнительных битов. Если результаты квантуются до допустимой длины слова (часто для этого используется округление), возникает шум округления. В результате возможны такие нежелательные следствия, как неустойчивость БИХ-фильтров.
· Переполнение. Этот эффект проявляется, когда результат сложения превышает разрешенную длину слова. Это приводит к неверным выходным выборкам и возможной неустойчивости БИХ-фильтров.
Степень ухудшения фильтра зависит от
1) Длины слова и типа арифметики, используемой для фильтрации,
2) Метода квантования коэффициентов фильтра и переменных до выбранных размеров,
3) Структуры фильтра.
Зная эти факторы, разработчик может оценить влияние конечной разрядности на производительность фильтра и при необходимости принять меры.
5. Реализация фильтра
Вычислив коэффициенты фильтра, выбрав подходящую структуру реализации и убедившись, что ухудшение фильтра, вызванное оцифровкой коэффициентов и переменных фильтра в слова выбранной длины, приемлемо, разностное уравнение требуется воплотить на аппаратном или программном уровне. Вне зависимости от выбранного метода, выход фильтра для каждой выборки должен вычисляться согласно разностному уравнению (предполагается реализация во временной области).