Пакет имеет хорошие графические возможности. Результат можно изобразить в форме 2D и 3D графиков. Вычерчивание графиков возможно в декартовой и полярной системе координат, сами графики могут быть представлены в виде кривых, поверхностей, столбиковых, разнесённых, секторных и векторных диаграмм. Любые составляющие документа в MathCad, включая численные данные, графики и изображения, могут быть анимированы.
Пакет имеет удобные возможности импорта/экспорта данных. Например, можно работать с электронными таблицами Microsoft Excel прямо внутри MathCad-документа. Есть возможность сохранения документов как в виде HTML-файлов (для выдачи результатов в Интернет), так и в качестве Word-документов.
Итак, преимущества MathCad – это простота, естественная запись математических формул и, как следствие этому, отсутствие необходимости изучения специализированного языка, возможность оформления документа в любой форме, наличие справочника математических формул и констант, способность работы на платформах с самыми скромными вычислительными и системными ресурсами.
Недостаток, очень большой для математиков, - отсутствие возможности решения сложных, специфических, с огромными вычислениями задач.
В общем, MathCad - это простая и удобная программа, которую можно рекомендовать широкому кругу пользователей, в том числе не очень разбирающимся в математике и программирование.
Сравнение систем непродуктивно. У каждой программы есть свои достоинства и недостатки, свои приверженцы. К тому же сопоставления Mathematica, Maple и MathCad вообще не имеют смысла. Разработчики каждого из пакетов преследовали разные цели. Для разработчиков Mathematica, Maple - это возможность решения специфических, узконаправленных, серьезных, с большими вычислениями задач. Для разработчиков MathCad – это простота в использовании, наглядность, ориентация на широкую аудиторию, включая и тех, кто не очень ориентируется в математике и программировании. Поэтому каждый сам для себя выбирает, какой пакет использовать в силу своих потребностей, знаний, умений разбираться в новом. Конечно, те, кто всерьез применяет системы компьютерной математики, должны работать с несколькими системами.
2. Проблема применения Mathematica и любого другого пакета для решения задач по функциональному анализу состоит в том, что все программы проводят вычисления над полем действительных чисел R. Функциональный анализ же работает с метрическими, топологическими, гильбертовыми, банаховыми пространствами. Поэтому найти тот же предел, определить, является функция непрерывной или разрывной, решить интегральное уравнение без дополнительных действий нельзя. А при вычислении интеграла Лебега вообще программные пакеты мало чем помогут.
Пример. Найти предел последовательности xn (t) =
Решение. Если в пакете Mathematica выполнить действие
то программа выдаст ответ 0.
Однако предел последовательности xn (t) точек метрического пространства С[0, 2] равен не 0, а t. Действительно, оценим расстояние между xn и пределом а = t в пространстве С[0, 2].
r( xn, a) =
Поскольку встроенные функции (Max, Maximize, FindMaximum, NMaximize) Mathematica не ищут максимум функций, содержащих независимые переменные (в нашем случае n), то будем искать его по стандартному алгоритму.
Вычислим разность
Она равна
Найдем нули производной от разности
-2n Ï [0, 2]. Поэтому ищем только значения функции на концах отрезка, то есть в точках t = 0, t = 2.
0
Понятно, что максимум находится в t = 2 и он равен
0
Значит, действительно предел последовательности xn (t) точек метрического пространства С[0, 2] равен t.
Пример. Выяснить является ли отображение F:l1 ® C, заданное
Формулой
Решение. Покажем, что данное отображение непрерывное, то есть надо показать
"e > 0 $ d(e, x0) > 0
Зададим в Mathematica отображение F(х).
Найдем расстояние между точками
Но модуль от суммы меньше суммы модулей, поэтому верно
По условию
Таким образом, отображение F(х) непрерывное
Покажем, что F(х).не равномерно непрерывное. Для этого надо привести контрпример. Понятно, что никакой пакет не в состоянии его сгенерировать. Необходимо самим придумать что-нибудь подходящее.
Возьмем две последовательности
Оценим расстояние между ними:
0
Оценим расстояние между F(хх) и F(уу):
¥
Значит, F(х) не равномерно непрерывное, а отсюда оно не удовлетворяет условию Липшица.
Глава 4 Обсуждение результатов
Как видно из примеров, пакет Mathematica мало чем помогает при решении задач по функциональному анализу. Возникает ряд трудностей. Необходимо в совершенстве владеть специфическим языком пакета, нет единого алгоритма решения примеров несмотря на одинаковую постановку вопроса. Все основные шаги к решению принимаются пользователем. Пакет бесполезен при решении задач на приведение контрпримеров. В данном случае его можно использовать только для проверки гипотезы.
Хотелось бы, чтобы в пакете было возможным производить вычисления хотя бы в основных специфических пространствах, чтобы какие-то общие закономерности решений были выявлены и реализованы.