Методические указания по лабораторным работам По дисциплине (стр. 5 из 6)

Наиболее вероятен прогноз по линейной модели Брауна. Темп прироста выработки снизится с 4,8% до 4,33%.

Тема 4. Модели стационарных временных рядов

Задание. Прогнозирование на базе моделей авторегресси р-порядка, модели скользящего среднего порядка q и авторегрессионных моделей со скользящими средними в остатках.

Исполнение: выполнение индивидуального задания с использованием ППП Statistica 6.0 и Statgraphics. Интерпретация результатов решения.

Оценка. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий: 8 часов.

Методические указания

Исходные данные для прогноза представлены в таблице 8.

Таблица 8 – исходные данные по выработке на одного работающего для прогнозирования по методу Бокса-Дженкинса (в т)

Период	Выработка, т	Период	Выработка, т
1	233	19	1029
2	263	20	1052
3	288	21	1068
4	319	22	1125
5	363	23	1170
6	433	24	1222
7	467	25	1281
8	503	26	1333
9	544	27	1358
10	577	28	1372
11	639	29	1389
12	687	30	1354
13	733	31	1341
14	758	32	1370
15	809	33	1340
16	865	34	1379
17	934	35	1397
18	1006	19	1029

В формулах для удобства записи использован оператор сдвига В, вычисляемый как ВY_t=Y_t_-1.

Модель (1) имеет порядок (p, d, q). P- определяет порядок авторегрессии, q – скользящего среднего; d – порядок конечных разностей. Ее практическое использование и методика построения связаны с Г. Боксом и Г. Дженкинсом. В пакете STATGRAPHICS реализована эта процедура. Покажем возможности ее использования для прогнозирования, используя данные из таблицы 2.

Проблема применения модели Бокса-Дженкинса является определение эффективных оценок ее параметров p, d, q. Для ее построения вычисляют первоначально разности ряда до тех пор, пока они не окажутся стационарными относительно математического ожидания и дисперсии. Далее задача сводится к оцениванию коэффициентов в модели авторегрессии и скользящего среднего.

Для построения ARIMA-модели порядка (1, 1, 1), т.е. порядок авторегресси, скользящего среднего и конечных разностей равен единице, в панели спецификации моделей установим переключатель процедуры Бокса-Дженкинса – ARIMA Model и изменим поля Differencing Noseasonal Order (порядок несезонной разности) и МА (несезонное скользящее среднее). Установим их равными единице. Прогноз осуществим на 6 лет.

Результаты построения отражены на рисунке 16.

Используя данные листинга (рис. 16), запишем:

(1 – 0,724В)(1 – В)У_t = 9,151 + (1 – 0,353В)e_t.

Раскрыв скобки и применяя операторы сдвига BY_t_-1=Y_t_-1 и Вe_t_-1=e_t_-1, имеем

Y_t-1 = 9,151 + 1,725 Y_t-1 – 0,725 Y_t-2 + e_t – 0,353e_t-1.

Отличительной чертой использования процедуры Бокса-Дженкинса является прогнозирование не только математического ожидания временного ряда, но и доверительных интервалов, в которых находится искомый показатель с заданной вероятностью.

Рис. 16 – Результаты построения модели Бокса-Дженкинса

На рис. 17 представлен исходный ряд за 35 периодов с прогнозными значениями выработки на 6 лет. Пунктирными линиями отмечены доверительные 95%-е границы прогноза.

Рис. 17 – Прогноз выработки по модели Бокса-Дженкинса

Для вывода основных формул, используемых для прогнозирования значений показателя У_t на будущий период t+l (где l – период упреждения), вводят два способа представления ряда динамики. Предсказываемый уровень исследуемого показателя выражается в виде

где

- прогноз выработки в l-м году; а₁, а₂, …, а_р – коэффициент авторегрессии; b₁, b₂, …, b_q – коэффициенты скользящего среднего.

Другая форма записи ARIMA-модели связывает будущие значения показателя выработки с бесконечной линейной комбинацией случайных компонент e_t:

(1)

где

- рассчитанные специальным образом веса.

Используя формулу (1), можно показать, что предсказанные значения выработки на момент времени t+l отличается от ее прогноза в момент t на ошибку предсказания на первом шаге е_t₊₁, умноженную на коэффициент

На рис. 17 представлен листинг с результатами прогнозирования по модели Бокса-Дженкинса. Из них видно, что за 6 предстоящих лет производительность труда вырастет на 13% (1570,45:1397*100-100). При этом значение выработки в конце периода упреждения может изменяться от 1376,78 до 1764,12 на человека.

Тема 5. Модели нестационарных временных рядов

Задание. Прогнозирование на базе моделей авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего и ARIMA-моделей.

Оценка. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий: 6 часов.

Методические указания

Лабораторная работа «Применение авторегрессионных моделей и ARIMA-моделей в прогнозировании» проводится на основе данных таблицы 9.

Таблица 9 - Исходные данные по выработке на одного работающего (в т)

Год	Выработка, т	Год	Выработка, т
1	673	12	951
2	694	13	915
3	711	14	938
4	786	15	847
5	797	16	891
6	782	17	885
7	810	18	883
8	832	19	867
9	834	20	824
10	878	21	918
11	900

Проверим гипотезу о наличии в данных линейного тренда и возможности использования авторегрессии первого порядка для прогнозирования остатков.

Строим линейный тренд: Special/ Time-Series Analysis/ Forecasting. Введем в поле Date имя переменной у, установим переключатель Year(s). Период упреждения берем равный четырем годам. Т.к. по умолчанию прогноз выполняется для модели случайной выборки, то щелкаем правой клавишей мыши и выберем из меню пункт Analysis Options. STATGRAPHICS выведет панель Model Specification Options. Устанавливаем Linear Trend/OK. Получаем отчет (рис. 18).

Проводим анализ полученной модели.

Вызываем панель табличных опций и устанавливаем в поле Forecasting Table. Система выведет соответствующую информацию (рис. 19).

Рис. 18 – Панель сводных итогов прогнозирования

Как видно на рис. 19, эта панель содержит две таблицы. В верхней таблице отражены модельные значения выработки и остатки, в нижней – приведены прогнозы по линейной модели с 95%-ми доверительными интервалами.