Методические указания по курсовому проектированию по курсу «Исследование систем управления» кафедра информационных технологий в экономике и бизнесе (стр. 4 из 20)

В 1953 году Г. Кендалл предложил стандартные обозначения для введённых выше определений, которые и используются исследователями без изменений. Для однофазных СМО символика Кендалла выглядит следующим образом :

A / B / n / m 2.1

Где A и B входной поток и поток обслуживания соответственно ,

n – число каналов, n

m - ёмкость накопителя.

Потоки случайных событий могут иметь различный вид:

- М – экспоненциальное распределение длительностей интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания ( индекс М от определяющего слова марковский процесс, т.е. такой, когда поведение процесса после момента времени t зависит лишь от состояния процесса в момент времени t и не зависит от поведения до момента времени t),

- D - детерминированное распределение длительностей интервалов поступления заявок или длительностей обслуживания,

- Е_к - поток Эрланга к – го порядка для длительностей интервалов между приходами заявок или длительностей обслуживания,

- GI - рекуррентный поток (длительности интервалов статистически независимы и имеют одинаковое распределение),

- G - общий вид распределения.

Тогда в символах Кендалла вместо А и В подставляется символ одного из упомянутых потоков, например:

M/M/1 - экспоненциальные потоки с одним каналом обслуживания и неограниченной ёмкостью.

D/GI/5/10 - детерминированный входной поток, рекуррентный поток обслуживания, многоканальное СМО с 5 одинаковыми каналами, ёмкость накопителя 10 и т.д.

Описание любого варианта СМО на языке математики достаточно несложно, но практически малоценно, так как не отражает динамики процесса функционирования системы. Поэтому всегда существует необходимость, получив предварительные числовые ориентиры на основе аналитической модели, далее строить имитационную модель, для чего незаменим ЯИМ GPSS/H .

2.3. Некоторые аналитические модели СМО

Не будем рассматривать причины, приводящие к искажению сформулированных свойств простейшего потока, отметим только, что процесс прихода заявок подчиняются в этом случае функции распределения Пуассона, а время прихода и обслуживания описывается экспоненциальной функцией распределения. Любые другие функции распределения приведут к лучшим параметром потоков, поэтому считается, что если параметры СМО удовлетворяют условиям простейшего потока, то они наверняка обеспечат удовлетворительную работу СМО при всех других потоках. В связи с этим в рассматриваемых далее моделях используются функции распределения Пуассона и экспоненциальные.

2.3.1Распределение вероятности длительности интервалов между заявками

Пусть f(t)- плотность распределения длительностей t интервалов между любой парой смежных заявок. Определим параметр потока

, как среднюю частоту появлений заявок, а 1/

, как среднее значение длительности интервала, тогда

t f( t )dt = 1/
. 2.2

Например, если за дискрету времени примем 1 час, а

= 4, то среднее количество поступлений равняется 15 минутам (1 /

= 0.25) и наоборот, если каждые 10 минут в систему поступает одна заявка, то частота поступлений

равняется 0.1 заявок в минуту.

Для стационарного потока плотность определяется как:

f ( t ) =

e ^-^t t

, 2.3

такое распределение называется экспоненциальным.

Вычисляя вероятность попадания n заявок в произвольно выбранный интервал Т, приходим к распределению Пуассона:

P _n ( t ) = ((

t )ⁿ / n! ) e ^–^t . n = 0,1,2,… 2.4

Полученные распределения отвечают всем свойствам простейшего потока.

Впредь будем полагать, что отсчёт времени начинается с момента Т

Не трудно показать, что экспоненциальная функция распределения заявок и пуассоновский процесс обладают одинаковыми статистиками и их можно считать синонимами, поэтому, и принято обозначение марковский процесс или М – процесс.

2.3.2 Распределение вероятностей длительностей обслуживания

Будем считать, что каждый канал в одно и то же время может обслуживать только одну заявку. Следующие друг за другом интервалы обслуживания независимы и имеют идентичное распределение.

Пусть плотность распределения равна g (t), тогда среднее время обслуживания равно:

T₀ =

t g ( t ) dt = 1 /

, 2.5

где

- параметр (темп) потока обслуживания.

Так, например, если за дискету времени принять 1 час, а

= 5, то в течение часа прибор обслужит 5 требований и среднее время обслуживания равно 12 минутам и наоборот, если на обслуживание заявки уходит 30 минут, то темп обслуживания

= 2. При расчёте среднего времени обслуживания учитывается только время занятости прибора обслуживания.

Для получения верхней границы пропускной способности канала обычно полагают, что распределение длительностей обслуживания является экспоненциальным:

G (t) =

e ^-^t при t

0, 2.6

при этом вероятность завершения обслуживания в интервале (t +

t) не зависит от того, сколько времени уже потрачено на обслуживание этой заявки (пример системы, не обладающей памятью). Таким образом, если в момент t заявка уже обслуживалась, то в силу (2.6) в момент t +

t вероятность того, что в этом интервале обслуживание не заканчивается:

P (t +

e ^-. 2.7

Следовательно, при очень малых

t, вероятность того, что обслуживание в рассматриваемом интервале не заканчивается равна:

P ( t +

t )

1 -

, 2.8

а что заканчивается

P ( t +

t )

. 2.9

Рассмотрим пример, в котором имеется возможность аналитического определения показателей эффективности функционирования СМО (М/М/1).

Пусть процесс обслуживания начинается при отсутствии заявок в накопителе, тогда состояние СМО описывается следующей системой уравнений:

2.10

где Р_n(t) - вероятность нахождения системы в состоянии

в момент t, т.е. когда в ней находятся n заявок.

Вероятность нахождения в системе n заявок в момент времени (t +

t) равна сумме трех вероятностей:

1) вероятности нахождения в системе n заявок в момент t, умноженной на вероятность того, что за время

t в систему не поступает ни одной заявки и ни одна заявил не будет обслужена;

2) вероятности нахождения в системе (n - 1) заявки в момент t, умноженной на вероятность поступления одной заявки за время

t, и ни одна заявка не будет обслужена;