Рис. 2.6
Решение: Так как элементы рассматриваемой системы находятся в последовательно-параллельном соединении, то для расчета вероятности безотказной работы системы можно использовать классический метод:
.Пример 2. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.7. Для расчета использовать метод минимальных путей и сечений.
Рис. 2.7. Двойная мостиковая схема соединения элементов
Решение: Определим минимальные наборы работоспособных элементов (путей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. Схема минимальных путей представлена на рис. 2.8, а. Так как полученная схема является последовательно – параллельной, для расчета вероятности безотказной работы системы можно использовать классический метод:
а) б)
Рис. 2.8. Набор минимальных путей (а) и набор минимальных сечений (б)
Схема минимальных сечений представлена на рис. 2.8, б. Полученная схема также является последовательно – параллельной:
Пример 3. Определить вероятность безотказной работы двойной мостиковой схемы (см. рис. 2.7.) с использованием метода разложения относительно особого элемента.Решение:
Используя формулу полной вероятности (2.8) и производя последовательное выделение двух особых элементов: пятого и шестого, получим вероятность безотказной работы двойной мостиковой схемы:
. 2.4 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.9.
Рис. 2.9
Задача 2. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой представлена на рис. 2.10 с использованием методов:
а) минимальных путей и сечений;
б) разложения относительно особого элемента.
Рис. 2.10
2.5 Контрольные вопросы и задания
1. Какой элемент системы со сложной структурой выделяется в качестве особого?
2. Почему методы минимальных путей и сечений дают оценки надежности соответственно сверху и снизу?
3. Структурные схемы какого вида принято называть основным соединением элементов?
4. Назовите способы расчета показателей надежности системы через известные показатели надежности ее элементов при резервном соединении элементов.
5. В чем недостаток метода перебора состояний?
6. Что такое минимальный путь?
7. Что такое минимальное сечение?
8. Когда можно использовать классический метод расчета надежности?
3. Расчет надежности сложноструктурных систем логико-вероятностным методом
3.1 Цель занятия
Освоение студентами методики расчетов надежности сложно-структурных систем логико-вероятностными методами (ЛВМ) и привитие навыков их использования для оценки различных ПН.
В результате проведения занятия студенты должны знать:
особенности расчета надежности сложных систем с использованием ЛВМ, методологические основы этого способа и условия его применения для аналитической оценки ПН систем, способы эквивалентного преобразования сетевых НФС в последовательно-параллельные.
Студенты должны уметь практически использовать положения ЛВМ в инженерных расчетах надежности сложно-структурных систем с восстановлением и без него; производить при необходимости преобразование сетевой НФС в эквивалентную ей по надежности параллельно-последовательную, оценивать с помощью ЛВМ различные ПН восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем.
3.2 Основные теоретические положения по теме занятия
Теоретической основой ЛВМ является математическая логика (булева алгебра), которая оперирует с логическими выражениями, имеющими значения «истинно» (1) или «ложно» (0). Логические выражения y являются функциями логических переменных x1, x2, …, xn, каждая из которых также может иметь значения 0 или 1. Из n переменных может быть образовано 2n наборов и 22n логических функций.
Для преобразования алгебраических выражений используются следующие тождества и законы математической логики:
закон коммутативности:
закон ассоциативности:
закон дистрибутивности:
закон поглощения:
Логические функции, которые применительно к задачам надежности принято называть функциями работоспособности (надежности), могут задаваться в словесной форме, таблицами истинности, алгебраическими выражениями или графиками.
Для записи функции работоспособности в алгебраической форме используется одно из следующих выражений:
(3.1) или
(3.2)где yi – значение функции работоспособности для соответствующей строки, 0 или 1;
mi – конъюнкция набора элементов i-ой строки; Mi – дизъюнкция набора элементов i-ой строки.
.
