Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов специальности 120100 заочной формы обучения (стр. 4 из 7)
В случае равнонадёжных элементов:
(18)Для анализа надежности АС, структурные схемы которых не сводятся к параллельному или последовательному типу, можно воспользоваться также методом логических схем с применением алгебры логики (булевой алгебры). Применение этого метода сводится к составлению для АС формулы алгебры логики, которая определяет условие работоспособности системы. При этом для каждого элемента и системы в целом рассматриваются два противоположных события - отказ и сохранение работоспособности.
Для составления логической схемы можно воспользоваться двумя методами: минимальных путей (рис.5.) и минимальных сечений (рис.6.). Рассмотрим метод минимальных путей для расчета вероятности безотказной работы на примере мостиковой схемы (см. рис. 4, а).
Минимальным путем называется последовательный набор работоспособных элементов системы, который обеспечивает ее работоспособность, а отказ любого из них приводит к ее отказу.
Минимальных путей в системе может быть один или несколько. Очевидно, система с последовательным соединением элементов (см. рис. 1.) имеет только один минимальный путь, включающий все элементы. В системе с параллельным соединением (см. рис. 2.) число минимальных путей совпадает с числом элементов, и каждый путь включает один из них.
Для мостиковой системы из пяти элементов (рис.4, а) минимальных путей четыре: (элементы 1 и 4), (2 и 5), (1, 3 и 5), (2, 3 и 5). Логическая схема такой системы (рис. 5.) составляется таким образом, чтобы все элементы каждого минимального пути были соединены друг с другом последовательно, а все минимальные пути параллельно.
 |
 |
Рис.5. Логическая схема Рис.6. Логическая схема мостиковой
мостиковой системы по системы по методу минимальных сечений
методу минимальных путей
Затем для логической схемы составляется функция алгебры логики А по общим правилам расчета вероятности безотказной работы, но вместо символов вероятностей безотказной работы элементов Рi и системы Р используются символы события (сохранения работоспособности элемента ai и системы А). Так, “отказ“ логической схемы рис. 5. состоит в одновременном отказе всех четырех параллельных ветвей, а “безотказная работа” каждой ветви - в одновременной безотказной работе ее элементов. Последовательное соединение элементов логической схемы соответствует логическому умножению (“И”), параллельное - логическому сложению (“ИЛИ”). Следовательно, схема рис. 5. соответствует утверждению: система работоспособна, если работоспособны элементы 1 и 4, или 2 и 5, или 1,3 и 5, или 2,3 и 4. Функция алгебры логики запишется:
(19)Переменные, а рассматриваются как булевы, т.е. могут приниматься только два значения: 0 или 1. Тогда при возведении в любую степень k любая переменная a сохраняет свое значение:
. На основе этого свойства функция алгебры логики может быть преобразована к виду
(20)Заменив символы событий аi их вероятностями рi, получим уравнение для определения вероятности безотказной работы системы
(21)Метод минимальных путей дает точное значение только для сравнительно простых систем с небольшим числом элементов. Для более сложных систем результат расчета является нижней границей вероятности безотказной работы.
Для расчета верхней границы вероятности безотказной работы системы служит метод минимальных сечений. Минимальным сечением называется набор неработоспособных элементов, отказ которых приводит к отказу системы, а восстановление работоспособности любого из них - к восстановлению работоспособности системы. Минимальных сечений может быть несколько. Система с параллельным соединением элементов имеет только одно минимальное сечение, включающее все ее элементы (восстановление любого восстановит работоспособность системы). В системе с последовательным соединением элементов число минимальных путей совпадает с числом элементов, и каждое сечение включает один из них.