Методика обучения учащихся векторному методу в школьном курсе геометрии (стр. 1 из 4)

управление образования и науки белгородской области

Валуйский педагогический колледж

Школьное отделение

Предметно-цикловая комиссия физико-математических дисциплин

Поповская Анна Владимировна

Студент 23 группы

Методика обучения учащихся векторному методу в школьном курсе геометрии

РЕФЕРАТ

По специальности 05020152 – преподавание математики в основной школе

Квалификация – учитель математики основной школы

Научный руководитель:

Преподаватель Соколова С. В.

Валуйки, 2007

План:

Введение

I 1.1 История векторного исчисления.

1.2.Понятие вектора. Цели изучения векторного метода в средней школе.

1.3.Основные компоненты векторного метода решения задач.

1.4.Понятийный аппарат.

1.5.Основные этапы формирования векторного метода у учащихся.

1.6.Методика формирования векторного метода решения задач.

II 2.1.Решение задач.

Заключение

Список литературы

Введение

В настоящее время в разных странах существует более или менее единое мнение по следующим двум вопросам:

1. Преподавание геометрии не может основываться на дедукции. Оно должно быть основано на наблюдении; его целью является выработка фундаментальных понятий, базирующихся на опыте.

2. Самый элегантный, глубокий и быстрый способ определения плоскости (или пространства) для математика – это определение её как двумерного (трёхмерного) векторного пространства над R, снабженного скалярным произведением. Кроме того, именно это определение наилучшим образом подготовлено для плодотворных обобщений.

Мы должны отдать предпочтение методам, основанными на фундаментальных понятиях, выкристаллизовавших за двадцать веков развития математики: понятиях множества, отношений эквивалентности и порядка, алгебраических законах, векторном пространстве, симметрии и геометрических преобразований.

Как построить схему, удовлетворяющую нашим требованиям? Хотелось бы, чтобы в этой системе было удобно выявить векторную структуру пространства, равно как и существование и свойства скалярного произведения. Следовательно, ситуацию можно резюмировать следующим образом: сегодня мы владеем простым «царским путем» в геометрию, ведущим через понятия «векторного пространства» и «скалярного произведения»; однако этими понятиями нельзя «овладеть штурмом», без всякой подготовки. Тем не менее, эти понятия будут служить нам путеводной звездой.

Основные цели данного метода:

1. рассмотреть цели изучения векторного метода в школе;

2. выделить основные компоненты решения задач этим методом;

3. рассмотреть понятийный аппарат векторного метода решения задач.

1.1.История векторного исчисления

Многие историки считают «родителями векторного пространства» ирландского учёного XIX в. У. Гамильтона, а также его немецких коллег и современников Г. Грассмана. Даже сам термин «вектор» ввел также Гамильтон около 1845 г.

Между тем историю векторного исчисления, как историю и корни всякой крупной математической теории, можно проследить задолго до его выделения в самостоятельный раздел математики. Так еще Архимед в его всем известном законе присутствует величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением. Более того: векторный характер сил, скоростей и перемещений в пространстве был знаком многим ученым Античного времени, а «правило параллелограмма» сложения векторов было известно еще в IV в. Р. Х. математикам школы Аристотеля. Вектор обычно изображался отрезком с указанным на нем направлением, т.е. направленным отрезком.

Параллельно с исследованиями комплексных чисел в работах многих математиков XVII-XVIII в. в., занимавшихся геометрическими проблемами, можно увидеть нарастание потребности в неком геометрическом исчислении, подобном численному (исчислению действительных чисел), но связанному с пространственной системой координат. Его в какой-то мере пытался создать еще Лейбниц, продумывая свою «универсальную арифметику», но, несмотря на гениальность и необычайную широту интересов, сделать это ему не удалось. Однако уже к концу XVIII в. отдельные идеи векторного исчисления, которое и стало тем исчислением, что искали геометры, смог сформулировать французский ученый Л. Карно. А в 30-х годах XIX в. у Гамильтона и Грассмана в работах по теории комплексных чисел и кватернионов эти идеи были сформулированы уже совершенно прозрачно, хотя, по существу, что удивительно, они имели дело только с некоторыми примерами тех конечномерных векторных пространств, которые теперь бы мы назвали – координатными.

Так называемые функциональные векторные пространства привлекли внимание математиков уже в начале нашего века рослее инновационных результатов в этой области итальянца С. Пинкерля и немецкого математика О. Теплица, который известен своими работами по теории матриц, и, в частности, тем, что придумал удачную общую модель векторного пространства – координатное векторное пространство. Именно Хевисайд ввел в 1891 г. Одно из закрепившихся в научной литературе обозначающий вектора: а, автором двух других общепринятых ныне обозначений векторов: ā был Ж. Арган, а для обозначения свободного вектора предложил А. Мебиус. Термин «скалярный» в современном смысле впервые употребил У. Гамильтон в 1843 г.

Таким образом, векторное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. Возникновение векторного исчисления тесно связано с потребностями механики и физики.

2.2 Понятие вектор. Цели изучения векторного метода в средней школе

Вектор – одно из фундаментальных понятий современной математики и широко используется в различных её областях. В работах Г. Бесселя, Ж. Аргана и К. Гаусса по теории комплексных чисел установлена связь между арифметическими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Гамильтона, Г. Грассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трёхмерного пространства. В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциональная геометрия, функциональный анализ.

К понятию вектора как направленного отрезка приводят многие задачи механики и других областей физики: теории упругости, теории электромагнитных полей.

В методике преподавания математики вектор выступает как связывающее звено между метрикой и направлением.

Цели изучения векторного метода в средней школе:

- дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;

- показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике – и на базе этого форматировать у учащихся диалектико-материалистическое мировоззрение;

- использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;

- формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

2.3.Основные компоненты векторного метода решения задач

Основными компонентами векторного решения метода решения задач являются:

1) перевод условия задачи на язык векторов, в том числе:

- введение в рассмотрение векторов;

- выбор системы координат (если это необходимо);

- выбор базисных векторов;

- разложение всех введенных векторов

2) составление системы векторных равенств (или одного равенства). Заметим, что в школе чаще используются векторные тождества и их преобразования, реже – векторные уравнения. Поэтому используется термин «равенство».

3) упрощение векторных равенств

4) замена векторных равенств алгебраическими уравнениями и их решения

5) объяснение геометрического смысла полученного решения этой системы (или одного уравнения).

2.4.Понятийный аппарат

Понятийный аппарат и умения, которыми должен овладать ученик, чтобы научиться решать задачи векторным методом:

- основные понятия: вектор, начало вектора, конец вектора, одинаково направленные векторы, противоположно направленные векторы, абсолютная величина вектора (модуль вектора), равные векторы, нулевой вектор, неколлинеарные векторы, единичный вектор, координатные векторы (орты), скалярное произведение векторов, угол между ненулевыми векторами;

- основные действия, умение выполнять которые должно быть сформулировано у учащихся: сложение векторов (пользуясь «правилом треугольника», «правилом параллелограмма» и «правилом параллепипеда»); вычитание векторов; умножение векторов на число; представление вектора в виде суммы, разности двух векторов, в виде произведения вектора на число; замена вектора ему равным при помощи параллельного переноса; представление вектора в виде его разложения по двум неколлинеарным векторам; переход от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и выполнение обратного действия; выражение величины угла между векторами через скалярное произведение векторов и длины этих векторов;

- действия для овладения компонентами метода: перевод геометрических терминов на язык векторов и решение обратной задачи; перевод условия задачи на язык векторов, т.е. составление системы векторных равенств по условию задачи; выбор базисных векторов, разложение всех введенных в рассмотрение векторов по базисным векторам; упрощение системы векторных равенств; замена векторных равенств алгебраическими.

2.5.Основные этапы формирования векторного метода у учащихся