Поляризация электромагнитных волн (стр. 7 из 15)

Правильное выражение для спектральной объемной плотности энергии электромагнитного излучения АЧТ удалось найти Планку после принятия квантовой гипотезы. В качестве теоретической модели АЧТ он рассмотрел систему гармонических осцилляторов, каждому из которых соответствует монохроматическая компонента излучения. При этом энергия каждого осциллятора может принимать лишь определенные дискретные значения. В результате была получена формула, определяющая объемную спектральную плотность излучения АЧТ, называемую формулой Планка:

, (6.6)

где: ħ=h/2π- постоянная Планка; w-круговая частота; с-скорость света в вакууме; к- постоянная Больцмана; Т- термодинамическая температура.

Учитывая взаимосвязь частоты w с длиной волны l ,эту формулу можно преобразовать к виду:

. (6.7)

Соответствующая формула для испускательной способности АЧТ имеет вид:

. (6.8)

T

Рис. 6.1. Модель абсо-

лютно черного тела

Рис. 6.2. Испускательная способность

абсолютно черного тела

На рис. 6.2 приведен график зависимости r_λ для АЧТ от длины волны. Интегрирование этого выражения с учетом формулы Планка по всему спектру приводит к формуле Стефана-Больцмана для энергетической светимости абсолютно черного тела R^*

, (6.9)

где величина s = 5,67^.10^-8 Вт/м^2.К⁴ называется постоянной Стефана-Больцмана.

Положение максимума на рис. 6.2 спектральной плотности энергии электромагнитного излучения АЧТ можно определить по формуле Вина:

, (6.10)

где b = 2,9^.10^{-3 м.}К. Величина максимума спектральной плотности энергетической светимости зависит от температуры

, (6.11)

где с₀ = 1,30^.10^-5 Вт/м^3.К⁵.

Пример решения задачи

При какой температуре с каждого квадратного сантиметра поверхности абсолютно черного тела вылетает ежесекундно в среднем по 10 фотонов в диапазоне длин волн от l₁ = 549 нм до l₂ = 551 нм?

Решение

Используя определение спектральной плотности энергетической светимости (6.2) и (6.6), можно найти энергию, испускаемую единицей поверхности абсолютно черного тела в интервале длин волн dl :

.

Учитывая малое значение величины

, это выражение можно записать в виде:

,

где l= 550 нм - средняя длина волны в заданном диапазоне. Тогда среднее количество фотонов N₀ , покидающих ежесекундно единицу поверхности абсолютно черного тела, можно определить по формуле:

.

Здесь N₀=N/S, S= 1 см² = 10 ^-4 м². Из этой формулы можно выразить искомую температуру:

,

а затем

.

Произведя вычисления, получим T = 550 К.

Пример решения задачи

Максимум испускательной способности поверхности Солнца приходится на длину волны l_max = 0,5 мкм. Определить температуру солнечной поверхности, считая, что она по своим свойствам близка к абсолютно черному телу. Найти значение солнечной постоянной - интенсивности солнечного излучения вблизи Земли за пределами ее атмосферы.

Решение