2. Определение ускорения свободного падения с помощью мая тника (стр. 3 из 6)

Галилей был доволен, обнаружив изохронность маятника. На самом деле он был больше чем доволен: впоследствии он говорил, что период оставался «постоянным при изменении размаха в пределах от 90⁰ до 4'! (Галилей не был таким скрупулезным, как Ньютон). Тем не менее человеку такого масштаба, как Галилей, можно простить то, что он иногда давал себя увлечь своему энтузиазму. Устройство для отсчета времени, к которому прибег Галилей, было весьма несовершенным: частота биений сердца вполне могла возрастать в те минуты, когда ученый убедился, что его мысль подтверждается; впрочем, к тысячному измерению эмоциональное возбуждение от открытия могло уже исчезнуть!

Галилей теперь располагал объективным способом для отсчета времени, с помощью которого он мог расширить эксперимент. Он нашел соотношение между периодами маятников различной длины и показал, используя грузики из свинца и пробки, что этот период не зависит от массы, хотя колебания маятника с грузиком из пробки затухают быстрее. Галилей ввел представление о резонансе, показав, что амплитуду колебаний тяжелого маятника можно постепенно увеличивать, если дуть на маятник в такт его движениям (он применил эти представления к изучению звука). Расположив гвоздь на пути нити маятника, Галилей наблюдал движение маятника с уменьшенной длиной нити и показал, что груз всегда достигает высоты, с которой он начал двигаться.

Этим Галилей заложил основы наших представлений о кинетической и потенциальной энергии. Поразительно, как одно-единственное явление вызвало в голове этого ученого целый поток идей.

Результат, полученный Галилеем, имел непосредственное практическое значение. Например, им воспользовались врачи для измерения пульса больных. Он дал возможность создать механизм для регулирования хода часов, и было потрачено много изобретательности для их изготовления. Но насколько важен был этот результат для чистой физики? Дело в том, что на его основе возник способ более точно проверить постоянство g, ускорения свободного падения.

2.2. Формула периода математического маятника

Период колебаний физического маятника зависит от многих обстоятельств: размеров и формы тела, от расстояния между центром тяжести и точкой подвеса и от распределения массы тела относительно этой точки, поэтому вычисление периода подвешенного тела – довольно сложная задача. Проще обстоит дело для математического маятника. Из наблюдений над подобными маятниками можно установить следующие простые законы.

1. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести груза), подвешивать разные грузы, то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.

2. если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком велики амплитуды, колебания достаточно близки по своей форме к гармоническому, и период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство называется изохронизмом (от греческого слова «изос» – равный, «хронос» – время).

Выведем теперь формулу для периода колебаний математического маятника.

При качаниях маятника груз движется ускоренно по дуге под действием возвращающей силы, которая меняется при движении. расчет движения тела под действием непостоянной силы довольно сложен. Поэтому для упрощения обычно поступают следующим образом: заставляют маятник совершать колебание не в одной плоскости, а описывать конус так, чтобы груз двигался по окружности. Это движение может быть получено в результате сложения двух независимых колебаний: одного по-прежнему в плоскости рисунка и другого – в перпендикулярной плоскости. Очевидно, периоды обеих этих плоских колебаний одинаковы, так как любая плоскость качаний ничем не отличается от всякой другой. Следовательно, и период сложного движения – обращения маятника по конусу – будет тот же, что и период качания в одной плоскости. Это вывод можно легко проиллюстрировать непосредственным опытом, взяв два одинаковых маятника и сообщив одному из них качание в плоскости, а другому – вращение по конусу.

Период обращения конического маятника равен длине описываемой грузом окружности, деленной на скорость:

Если угол отклонения от вертикали невелик (малые амплитуды), то можно считать, что возвращающая сила Р₁ направлена по радиусу окружности ВС, то есть равна центростремительной силе:

(1)

С другой стороны, из подобия треугольников ОВС и DBE следует, что

(2)

Приравнивая выражения (1) и (2) друг другу, получаем для скорости обращения:

. Наконец, подставив это выражение в выражение периода Т, находим:

Итак, период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и от длины маятника l, то есть расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Другими словами, путем расчета были получены те основные законы, которые были установлены ранее из наблюдений.

Этот теоретический вывод дает больше: он позволяет установить количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2

На зависимости периода маятника от ускорения свободного падения основан очень точный способ определения этого ускорения. Измерив длину маятника l и определив из большого числа колебаний период Т, можно вычислить с помощью полученной формулы ускорение свободного падения. Этот способ широко используется на практике.

2.3. Описание лабораторной установки и методики измерений

При выполнении работы измеряется время колебаний маятника. Установка состоит из: штатива, на котором подвешен маятник и секундомера.

Принципиальная схема:

Методика измерений

Измерим длину маятника и, отклонив маятник на 5-10 см, отпустим его. После 40 колебаний зафиксируем время колебаний, повторив опыт несколько раз, изменяя длину нити маятника.

Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле:

, где

Т – период колебаний, с;

l – длина нити маятника, м;

g – ускорение свободного падения, м/с².

Отсюда, ускорение свободного падения может быть вычислено по формуле:

Результаты измерений и вычислений

Табл.1

№ п/п	N	t, c	\|t_ср-t_i\|, c	l, м	g, м/с²
1	40	70,20	0,298	0,785	10,0618
2	40	70,60	0,102		9,9481
3	40	70,33	0,168		10,0246
4	40	70,56	0,062		9,9594
5	40	70,33	0,168		10,0246
6	40	70,65	0,152		9,9340
7	40	70,15	0,348		10,0761
8	40	70,60	0,102		9,9481
9	40	70,51	0,012		9,9735
10	40	71,05	0,552		9,8225
*Среднее значение*		70,498	0,196		9,9773

Табл.2