Примерные композиции форматов показаны на рис. 8 и 9. Условные обозначения: КЧ – комплексный чертёж, Акс – аксонометрия, А – алгоритм, Т – таблица координат точек. Размеры и содержание таблицы даны на рис.10.
Рис. 8 Рис. 9
Материал для изучения
Для успешного выполнения задания необходимо решить соответствующие задачи в рабочей тетради, а также изучить теорию по одному из учебников.
[1] Глава 2: §§ 2.1–2.4.
[2] §§1–4.
[3] §31.
[4] §4.4a, примеры 1 и 3; §8.2.
Этапы выполнения задания
1-й этап – подготовительный.
- Оформить формат.
- Начертить таблицу и вписать координаты заданных точек.
- Предъявить для проверки преподавателю.
2-й этап – решение задачи I в тонких линиях.
- Построить треугольник ABC и параллелограмм DEFG. Определить координаты точки G и вписать их в таблицу.
- Построить искомую линию пересечения. Посредники должны быть заданы разомкнутой линией и обозначены. Обосновать выбор посредников (устно, по требованию преподавателя).
- Определить видимость с помощью конкурирующих точек. Конкурирующие точки должны быть заданы и обозначены.
- Записать алгоритм решения задачи в пространстве.
- Предъявить для проверки преподавателю.
3-й этап – решение задачи 2 в тонких линиях.
- Построить треугольник и сторону параллелограмма.
- Построить искомую точку пресечения. Задать и обозначить посредник.
- Определить видимость прямой с помощью конкурирующих точек. Конкурирующие точки должны быть заданы и обозначены.
- Записать алгоритм решения задачи в пространстве.
- Предъявить для проверки преподавателю. Получить разрешение на обводку чертежа.
4-й этап – заключительный.
- Удалить ненужные линии.
- Выделить цветом видимые части геометрических фигур.
- Обвести чертёж.
- Предъявить преподавателю на подпись.
Методические указания и примеры решения
З а д а ч а I
Напомним в общих чертах решение задачи на построение линии пересечения двух плоскостей. Искомая прямая строится по двум точкам. Эти точки определяются с помощью двух плоскостей-посредников. Каждый посредник пересекает заданные плоскости по двум прямым. Точка пересечения этих прямых принадлежит искомой линии. В общем случае для решения задачи требуется построить 8 вспомогательных точек и по ним провести 4 вспомогательные прямые. Однако в каждом конкретном случае следует искать возможность сократить число таких точек и линий за счет использования точек и линий, которые заданы по условию задачи. Точность построения прямых тем выше, чем больше расстояние между точками, задающими эти прямые.
Трудоёмкость и точность графических построений во многом определяется выбором посредников. Это исследовательская часть работы. Основные направления учебно-исследовательской работы (УИРС) в данной задаче:
1. Если посредники параллельны?
2. Если посредники проходят через прямые, которые задают плоскости?
3. Расстояние между проекциями точек, задающих вспомогательные прямые, должно быть не менее 20 мм (условное число).
Пункт I ведёт к сокращению вспомогательных точек с 8 до 6. Пункт 2 ведет к сокращению числа вспомогательных точек и линий в два раза. Пункт 3 обеспечивает достаточную точность графических построений. По какому пути пойти? По первому? По второму? Использовать то и другое? А требования пункта 3? Всё зависит от конкретных условий задачи. Думайте и решайте!
Пример решения (рис.11):
1. По заданным точкам строим треугольник и параллелограмм. Для построения вершины G используем свойство параллелограмма.
2. Через стороны параллелограмма DE и FG проводим параллельные посредники:
Σ (Σ2) и Σ/( Σ/2 ). (Таким образом, мы выбрали сразу два направления УИРС: первое и второе).
3. Пресекаем посредник Σ с плоскостью ABC по прямой m. Прямая m строится по точкам I и 2, которые получаются путём пересечения посредника со сторонами треугольника АС и АВ. (Расстояние между проекциями точек соответствует требованию пункта 3). Прямые DE и m принадлежат посреднику и пересекаются в точке K искомой линии.
4. Пересекаем посредник Σ/ с плоскостью ABC по прямой m/. Прямая m/ проводится через точку 3 параллельно прямой m. Точка 3 определяется пересечением прямой GF с посредником. Прямые GF и m/ пересекаются в точке L. Это вторая точка искомой линии.
5. Cтроим искомую прямую ℓ(K,L) и ограничиваем её отрезком [КМ], по которому пересекаются треугольник и параллелограмм.
6. Определяем видимость с помощью конкурирующих точек. На фронтальной проекции используем точки I и 4, у которых 12=24. Точка I принадлежат треугольнику, точка 4 - параллелограмму. Фронтальная проекция точки 4 видима, значит видима в этом месте и часть параллелограмма. Аналогично с помощью точек 5 и 6 определяется видимость на горизонтальной проекции.
7. Запишем алгоритм решения (рис.11).
Что дал нам выбор посредников?
1. Задача решена при помощи 2-х вспомогательных прямых и 3-х вспомогательных точек вместо 4-х прямых и 8-ми точек в общем случае. Это сокращение трудоёмкости.
2. Выдержаны требования пункта 3 УИРС. Этим обеспечена достаточная точность построения вспомогательных прямых.
З а д а ч а 2
Пример решения (рис.11):
1. Зададим систему аксонометрических осей. С помощью координатных ломаных линий построим диметрию и вторичную проекцию треугольника и стороны параллелограмма. Укажем масштаб аксонометрического изображения.
2. Зададим горизонтально проецирующий посредник Г, проходящий через заданный отрезок DE. Вторичная проекция посредника Г/1 определяется концами вторичной проекции отрезка DЕ.
3. Пересекаем посредник Г с плоскостью треугольника ABC по прямой m. Прямая m строится по точкам 1 и 2, которые получаются путем пересечения посредника сторонами треугольника АС и BC.
4. Прямые DE и m принадлежат посреднику и пересекаются в искомой точке К.
5. Запишем алгоритм решения (рис.12).
Задание 2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Цель задания - получить практические навыки самостоятельного речения задач с элементами УИРС по теме задания.
