· Логическое мышление обычно характеризуется умением выводить следствия из данных предпосылок, вычленять частные случаи из некоторого общего положения, теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы и т. п. Развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом заботы учителей и методистов. Логическое мышление проявляется и развивается у учащихся, прежде всего, в ходе различных математических выводов: индуктивных и дедуктивных, при доказательстве теорем, обосновании решения задач и т. д.
· Функциональное мышление, характеризуемое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами, ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей школьного курса математики - идеи функции.
· Сформированность пространственного воображения характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические модели изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами. Известно, что невысокий уровень развития пространственно-схематического мышления обычно затрудняет изучение стереометрии, так как оно не формируется сразу; для его успешного развития обычно требуется кропотливая предварительная подготовка учащихся.
· Значительно реже в методико-математической литературе встречается термин "интуитивное мышление". Однако опытный учитель всегда уделяет должное внимание развитию у школьников сообразительности, способности к догадке.
Эти разновидности математического мышления являются не чем иным, как особыми формами проявления мышления в процессе изучения математики.
Многие черты математического мышления проявляются в мышлении творческом. Однако вряд ли имеет смысл говорить о творческом математическом мышлении, так как творческое мышление является весьма общей категорией, проявляющейся в умственной и практической деятельности человека.
К творческим способностям, с точки зрения Ю. М. Колягина, относятся прежде всего:
· способность к правильному и быстрому восприятию, способность к пространственному воображению;
· способность к быстрому сосредоточению и переключению внимания с сохранением его устойчивости и интенсивности на любых избранных объектах;
· наличие хорошей избирательной памяти, способность репродуцировать ведущие знания и опыт;
· способность к сильному творческому воображению;
· способность оценивать ситуацию сразу с различных точек зрения, способность видеть больше того, что есть и что очевидно;
· способность проникать в сущность основных взаимосвязей, скрытых в данной проблеме, перед тем как приступить к ее решению;
· устойчивую потребность в познании нового;
· образность, точность и сжатость речи, способность необычно отвечать на специфические вопросы;
· способность создавать наглядно-действенные и наглядно-образные модели тех или иных ситуаций;
· способность мыслить отвлеченно, схватывая главную суть закономерности изучаемого процесса или характеристические свойства той или иной ситуации.
Важно отметить, что к числу качеств, присущих творческой личности, справедливо относят и такие качества, как:
· глубокие и широкие знания в области своей деятельности;
· всестороннюю (или узконаправленную) любознательность;
· мечтательность, склонность к фантазии;
· независимость суждений;
· находчивость, способность к импровизации;
· склонность к риску и т. д.
Нетрудно видеть, что в перечисленных качествах творческой личности проявляется высокий уровень развития самых разнообразных компонентов, присущих математическому мышлению.
Осуществляя целенаправленное математическое развитие школьников, следует помнить, что задачи являются здесь наиболее естественным и наиболее эффективным средством.
Мышление психологически выступает как деятельность по решению задачи. А. В. Брушлинский пишет, что развитие мышления происходит "именно в ходе решения задач, когда человек сам наталкивается на посильные для него проблемы и вопросы, формулирует их и затем решает".
С. Л. Рубинштейн, характеризуя психическую природу мыслительного процесса, указывал: "Всякий мыслительный процесс является по своему внутреннему строению действием, направленным на разрешение определенной задачи. Задача эта заключает в себе цель для мыслительной деятельности индивида, соотнесенную с условиями, которыми она задана. Начальным моментом мыслительного процесса обычно является проблемная ситуация. Мыслить человек начинает, когда у него появляется потребность что-то понять. Мышление обычно начинается с проблемы или вопроса, с удивления или недоумения, с противоречия".
4. Задачи с развивающими функциями
Развитие математического мышления и творческих способностей осуществляется в ходе размышлений учащихся над задачами. Самостоятельная деятельность учащихся по решению задач занимает главное место в обучении математике. Умение решать задачи - критерий успешности обучения математике.
Задача в теории обучения понимается в широком смысле. В это понятие можно включить любое задание, требующее осуществления какого-либо познавательного акта, любой учебный текст, подлежащий усвоению. Согласно А.Н.Леонтьеву, задача - это есть цель, данная в определенных условиях.
Рассмотрим систематизацию задач в зависимости от их функций. К. И. Нешков и А. Д. Семушин выделяют следующие типы задач:
· задачи с дидактическими функциями,
· задачи с познавательными функциями,
· задачи с развивающими функциями.
Характеристика функций задач дана в работах Ю. М. Колягина и Е. И. Лященко. По мнению Ю. М. Колягина, функции задач должны соответствовать основным компонентам образования: обучению, воспитанию и развитию. Е. И. Лященко, анализируя требования к задачам, исходит из деления задач на дидактические, познавательные, развивающие.
К развивающим задачам, или задачам с развивающими функциями относятся:
1) задачи, для решения которых не требуются новые знания по предмету, надо применять имеющиеся знания в иной комбинации;
2) задачи, с помощью и на основе которых приобретаются знания по предмету.
Развивающие задачи, или задачи с развивающими функциями, - это задачи, содержание которых может отходить от основного курса математики с посильным осложнением некоторых из изученных ранее вопросов школьной программы; запоминание и усвоение этого материала всеми учащимися необязательно. При решении этих задач ученику недостаточно применять изученные теоретические сведения или уже известные методы решения задач, а необходимо проявить выдумку, сообразительность.
Задачи с развивающими функциями не должны быть объектом изучения. Это не означает, что они превращаются в задачи, необязательные для решения. Таких задач должно быть достаточно много в учебнике для каждого класса, начиная с 1-го. Задачи, несущие развивающие функции, в основном предназначены для развития мышления учащихся. Однако способности учащихся различны, и поэтому их успехи в решении таких задач, естественно, неодинаковы. Необходимо исходить из того, что не каждый ученик может решить любую задачу, не каждый ученик сумеет достаточно глубоко разобраться в некоторых готовых решениях. Задачи с развивающими функциями не должны быть случайными. Они должны быть связаны с изучаемым материалом и представлять посильные для учащихся трудности. Наибольшую пользу эти задачи приносят тогда, когда они решаются без предварительной подготовки и достаточно разнообразны по содержанию и способам решения. Если же, как это часто делается, решать с целью "развития" несколько однородных задач подряд до тех пор, пока учащиеся не усвоят способ решения, то эти задачи потеряют свои ценные развивающие качества.
Решение задач с развивающими функциями не доводится до навыка. Учащиеся - каждый по мере своих возможностей - должны просто решать эти задачи. И все же при их решении учащиеся будут получать не только знания, но и развитие, что непременно отразится на усвоении ими всего курса математики. При решении задач с развивающими функциями создаются благоприятные условия для проявления самостоятельности учащихся, особое значение приобретает индивидуальный подход к учащимся.
Задачи с развивающими функциями не пользуются популярностью у многих учителей по ряду причин. Обучение их решению требует большого напряжения со стороны учителя и не сразу дает внешне заметные результаты. Кроме того, эти важные результаты обучения довольно трудно выявить самому учителю (одну задачу решила одна группа учащихся, с другой справилась другая группа, и учитель постоянно испытывает тревогу, что решение не оставит следа в сознании всех учащихся). Неудовлетворенность у учителя оставляет и то, что он не сразу может продемонстрировать успехи своих учеников коллегам. Как показывает эксперимент, при систематической работе по решению задач с развивающими функциями уже через 1-2 месяца заметны успехи учащихся.
5. Развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся на уроках математики
Эффективность процесса обучения математике в наше время определяется многими факторами, но главная роль принадлежит учителю.
Его задача, прежде всего, воспитать активно мыслящую личность. От мастерства учителя, его умения управлять процессом формирования знаний учащихся, развитием их мышления во многом зависит, сможет ли ученик творчески подойти к изучаемому материалу. Остановлюсь на некоторых приемах, которые способствуют успешному усвоению учебного материала, развитию познавательной активности школьников.