Тема 10. Рекурсивные частотные цифровые фильтры благословен Господь, кто содеял все нужное нетрудным, а все трудное ненужным (стр. 2 из 4)

Таким образом, передаточная функция ФНЧ Баттеруорта в p-области при четном N:

H(p) = G

1/B_m(p) = G 1/(p²+a_mp+1), (10.1.16)

a_m = 2 sin(p(2m-1)/2N), m = 1,2, ... ,N/2. (10.1.17)

При нечетном N:

H(p) = (G/p+1)

1/(p²+a_mp+1), (10.1.16')

Продолжение примера.

7. Вычисляем значения коэффициентов a_m по формуле (10.1.17):

- N=4: a₁ = 0.765, a₂ = 1.848.

- N=5: a₁ = 0.618, a₂ = 1.618.

Билинейное преобразование. Для перевода передаточной функции фильтра в z-область производится билинейное преобразование, для чего в выражение (10.1.16) подставляется параметр р:

p = g(1-z)/(1+z). (10.1.18)

С учетом автоматического возврата к нормальной шкале частот в главном частотном диапазоне z-преобразования значение коэффициента g:

g = 2/(Dt·ω_dc). (10.1.19)

После перехода в z-область и приведения уравнения передаточной функции в типовую форму, для четного N получаем передаточную функцию из М=N/2 биквадратных блоков:

H(z) = G

G_m (1+z)² /(1-b_m z+c_m z²). (10.1.20)

G_m = 1/(g² + a_mg + 1). (10.1.21)

b_m = 2·G_m (g² - 1). (10.1.22)

c_m = G_m (g² - a_mg + 1). (10.1.23)

При нечетном N добавляется один линейный блок первого порядка, который можно считать нулевым блоком фильтра (m=0):

H(z) = G

G_m (1+z)² /(1-b_m z+c_m z²), (10.1.24)

при этом, естественно, в выражении (10.1.24) используются значения коэффициентов G_m, b_m и c_m, вычисленные по (10.1.21-10.1.23) для нечетного значения N.

Значение множителя G в общем случае находится нормировкой к 1 коэффициента передачи фильтра при w = 0. Для ФНЧ при использовании вышеприведенных формул значение G равно 1.

При z=exp(-jw) главный диапазон функций H(z) от -p до p. Для получения передаточной функции в шкале физических частот достаточно вместо z в выражения (10.1.20, 10.1.24) подставить значение z=exp(-jwDt), где Dt – физический интервал дискретизации данных, и проверить соответствие расчетной передаточной функции заданным условиям.

Рис. 10.1.3.

Продолжение примера.

8. Вычисляем значения коэффициентов G_m, b_m и c_m:

- N=4: g = 1.637, G₁ = 0.203, G₂ = 0.149, b₁ = 0.681, b₂ = 0.501, c₁ = 0.492, c₂ = 0.098.

- N=5: g = 1.698, G₁ = 0.203, G₂ = 0.151, b₁ = 0.763, b₂ = 0.568, c₁ = 0.574, c₂ = 0.171.

9. Подставляем вычисленные коэффициенты в выражения (10.1.20, 10.1.24) и вычисляем значения передаточных функций при z = exp(-jwDt). Графики полученных функций приведены на рис. 10.1.3. На рис. 10.1.4

Во временной области фильтрация выполняется последовательной сверткой входного сигнала с операторами ячеек фильтра:

y_k = x_k ③ {h₀(i)} ③ h₁(i) ③ … ③ h_М(i), i = 0,1,2.

Уравнение рекурсивной фильтрации для m-го оператора фильтра:

y_k = G_m (x_k+2x_k-1+x_k-2) + b_m y_k-1 - c_m y_k-2. (10.1.25)

Уравнение рекурсивной фильтрации для дополнительного h₀(i) линейного оператора фильтра при нечетном N:

y₀ = (x_k+x_k-1)/(g+1) + y_k-1·(g-1)/(g+1) (10.1.26)

Продолжение примера.

Рис. 10.1.4.

10. Каждый оператор фильтра имеет определенную передаточную функцию, что можно видеть на рис. 10.1.4. Порядок последовательной свертки сигнала с операторами фильтра значения не имеет, но с учетом разрядности ячеек памяти звено H₁(f) целесообразно реализовать за H₂(f).

11. Для оценки длительности импульсной реакции фильтра подаем на вход фильтра импульс Кронекера на отсчете k = 3, и начинаем фильтрацию со второго отсчета (что обеспечивает начальные условия фильтрации на точках k=0 и k=1). Коэффициент усиления дисперсии шумов (сумма квадратов значений импульсного отклика) равен 0.341 при N=5, и 0.278 при N=4.

10.2. Высокочастотный фильтр Баттеруорта /12/.

Синтез фильтров методом частотного преобразования. Высокочастотные и полосовые фильтры конструируются путем частотной трансформации передаточных функций фильтров низких частот. Если обозначить аргумент передаточных функций ФНЧ через p=jW, a функций ФВЧ и ПФ через s=jw, то всегда можно найти такую функцию частотного преобразования p=F(s), которая превращает один тип фильтров в другой. Для преобразования ФНЧ → ФВЧ функция частотного преобразования имеет вид:

p = 1/s, (10.2.1)

В этом нетрудно убедиться сравнением двух видов преобразования. Как известно, передаточная функция ФВЧ может быть получена из ФНЧ разностью между широкополосным фильтром (H(w)=1) и ФНЧ. Применяя этот метод для функции Баттеруорта, получаем:

|H(w)|² = 1-|H(W)|² = 1- 1/(1+W^2N) = W^2N/(1+W^2N). (10.2.2)

С другой стороны, при W = p/j: |H(p)|² = 1/(1-p^2N). Выполняя подстановку (10.2.1) в это выражение, получаем:

|H(s)|² = s^2N/(s^2N-1).

Возвратимся из последнего выражения к аргументу w с учетом принятого равенства s=jw:

|H(s)|² = (jw)^2N/((jw)^2N-1) =(w)^2N/(1+(w)^2N),

что полностью повторяет (10.2.2) при w=W.

Подставляя p=1/s непосредственно в выражение H(p) (10.1.16) для четного значения N, получаем:

H(s) = G

s²/(s²+a_m s+1). (10.2.3)

Для нечетного N:

H(s) = [G·s/(s+1)]

s²/(s²+a_m s+1). (10.2.4)

После билинейного z-преобразования выражения с подстановкой s=g(1-z)/(1+z), для четного и нечетного значений N соответственно:

H(z) = G

g²·G_m·(1-z)²/(1-b_m z+c_m z²). (10.2.5)

H(z) = G

g²·G_m·(1-z)²/(1-b_m z+c_m z²). (10.2.6)

G_m = 1/(g² + a_mg + 1). (10.2.7)

b_m = 2·G_m (g² - 1).

c_m = G_m (g² - a_mg + 1).

Значения коэффициентов G_m, b_m, c_m остаются без изменения (сравнить с (10.1.21-10.1.23)). При задании частотных параметров ФВЧ в том же виде, что и для ФНЧ, формула расчетов N и w_dc получается аналогично ФНЧ, при этом в знаменателе выражения (10.1.6) отношение w_dp/w_ds заменяется на w_ds/w_dp:

N = ln [d/

] / ln(w_ds/w_dp), (10.2.8)

а в (10.1.7) деление членов правой части меняется на умножение:

w_dc = w_dp·d^1/N. (10.2.9)

Уравнение рекурсивной фильтрации для m-го оператора фильтра:

y_k = g²·G_m (x_k-2x_k-1+x_k-2) + b_m y_k-1 - c_m y_k-2. (10.2.10)

Уравнение рекурсивной фильтрации для дополнительного h₀(i) линейного оператора фильтра при нечетном N:

y₀ = g·(x_k-x_k-1)/(g+1) + y_k-1·(g-1)/(g+1). (10.2.11)

Пример расчета фильтра высоких частот Баттеруорта.

Техническое задание:

- Шаг дискретизации данных Dt = 0.0005 сек. Частота Найквиста f_N = 1/2Dt = 1000 Гц, ω_N = 6.283·10³ рад.

- Граничная частота полосы пропускания: f_p = 700 Гц, w_p = 4.398·10³ рад.

- Граничная частота полосы подавления: f_s = 500 Гц, w_s = 3.142·10³ рад.

- Коэффициенты неравномерности: А_р = А_s = 0.1.

Расчет дополнительных параметров:

1. d = A_p

/(1-A_p): d= 0.484.

2. Деформированные частоты по формуле (10.1.4): w_dp = 7.85·10³ рад. w_ds = 4·10³ рад.

3. Порядок фильтра по формуле (10.2.8): N = 4.483. Для расчетов принимаем N=4.

Рис. 10.2.1.

4. Частота среза фильтра по формуле (10.2.9):

w_dc = 6.549·10³ рад (1042 Гц),

5. Строим график функции H(w), w = ω/ω_dc, (рис.10.2.1).

6. Полюса p_n фильтра полностью повторяют полюса ФНЧ (рис. 10.1.2), а, соответственно, повторяются и значения коэффициентов a_m. Остальные коэффициенты: g = 0.611, G₁ = 0.543, G₂ = 0.4, b₁ = - 0.681, b₂ = - 0.501, c₁ = 0.492, c₂ = 0.098.

Рис. 10.2.2.

При сравнении коэффициентов b_m, c_m и коэффициентов в числителе передаточных функций ФВЧ с соответствующими коэффициентами ФНЧ предыдущего примера можно заметить, что в данном фильтре относительно ФНЧ произошла только смена знаков коэффициентов при нечетных степенях z. Это объясняется тем, что заданные в данном примере параметры ФВЧ по частоте соответствуют частотному реверсу ФНЧ: w' = p-w, что приводит к частотному реверсу передаточной функции низкочастотного фильтра и превращению его в высокочастотный фильтр. Этот способ обращения ФНЧ также может использоваться для расчетов ФВЧ.