Тема 6: рекурсивные частотные фильтры (стр. 2 из 4)
Таким образом, передаточная функция ФНЧ Баттеруорта в p-области при четном N:
H(p) = G
1/Bm(p) = G 1/(p2+amp+1), (6.1.16)am = 2 sin(p(2m-1)/2N), m = 1,2, ... ,N/2. (6.1.17)
При нечетном N:
H(p) = (G/p+1)
1/(p2+amp+1), (6.1.16')Продолжение примера расчета фильтра.
7. Вычисляем значения коэффициентов am по формуле (6.1.17):
- N=4: a1 = 0.765, a2 = 1.848.
- N=5: a1 = 0.618, a2 = 1.618.
Билинейное преобразование. Для перевода передаточной функции фильтра в z-область производится билинейное преобразование, для чего в выражение (6.1.16) подставляется параметр р:
p = g·(1-z)/(1+z). (6.1.18)
С учетом автоматического возврата к нормальной (недеформированной) шкале частот в главном частотном диапазоне z-преобразования значение коэффициента g:
g = 2/(Dt·ωdc). (6.1.19)
После перехода в z-область и приведения уравнения передаточной функции в типовую форму, для четного N получаем передаточную функцию из М=N/2 биквадратных блоков:
H(z) = G
Gm (1+z)2 /(1-bm z+cm z2). (6.1.20)Gm = 1/(g2 + amg + 1). (6.1.21)
bm = 2·Gm (g2 - 1). (6.1.22)
cm = Gm (g2 - amg + 1). (6.1.23)
При любом нечетном N добавляется один постоянный линейный блок первого порядка, который можно считать нулевым блоком фильтра (m=0):
H(z) = G
Gm (1+z)2 /(1-bm z+cm z2), (6.1.24)при этом, естественно, в выражении (6.1.24) используются значения коэффициентов Gm, bm и cm, вычисленные по (6.1.21-6.1.23) для данного нечетного значения N.
При z=exp(-jw) главный диапазон функций H(z) от -p до p. Для получения передаточной функции в шкале физических частот достаточно вместо z в выражения (6.1.20, 6.1.24) подставить значение z=exp(-jwDt), где Dt – физический интервал дискретизации данных, и проверить соответствие расчетной передаточной функции заданным условиям.
 Рис. 6.1.3.  Рис. 6.1.4. |
Продолжение примера расчета фильтра.
8. Вычисляем значения коэффициентов Gm, bm и cm:
- N=4: g = 1.637, G1 = 0.203, G2 = 0.149, b1 = 0.681, b2 = 0.501, c1 = 0.492, c2 = 0.098.
- N=5: g = 1.698, G1 = 0.203, G2 = 0.151, b1 = 0.763, b2 = 0.568, c1 = 0.574, c2 = 0.171.
9. Подставляем вычисленные коэффициенты в выражения (6.1.20, 6.1.24) и вычисляем значения передаточных функций при z = exp(-jwDt). Графики полученных функций приведены на рис. 6.1.3. На рис. 6.1.4 приведена фазочастотная характеристика фильтра (сплошная кривая) и групповое время задержки (пунктир) при N=4. Нелинейность ГВЗ в полосе пропускания, в принципе, не так велика, но начинает увеличиваться при увеличении порядка фильтра.
Во временной области фильтрация выполняется последовательной сверткой входного сигнала с операторами ячеек фильтра:
yk = xk* {h0(i)} * h1(i) * … * hМ(i), i = 0,1,2.
Уравнение рекурсивной фильтрации для m-го оператора фильтра:
yk = Gm (xk+2xk-1+xk-2) + bm yk-1 - cm yk-2. (6.1.25)
Уравнение рекурсивной фильтрации для дополнительного h0(i) линейного оператора фильтра при нечетном N:
y0 = (xk+xk-1)/(g+1) + yk-1·(g-1)/(g+1) (6.1.26)
Продолжение примера расчета фильтра.
 Рис. 6.1.5. |
10. Каждый оператор фильтра имеет определенную передаточную функцию, что можно видеть на рис. 6.1.5. Порядок последовательной свертки сигнала с операторами фильтра значения не имеет.
11. Для оценки длительности импульсной реакции фильтра подаем на вход фильтра импульс Кронекера на отсчете k = 3, и начинаем фильтрацию со второго отсчета (что обеспечивает начальные условия фильтрации на точках k=0 и k=1). Сигналы на выходе первой и второй секции фильтра приведены на рис. 6.1.6.
Каждая секция фильтра дает определенный сдвиг фазы сигнала, но их значение для секций не является одинаковым и устранение сдвига фазы сверткой сигнала с последовательным изменением направления свертки по секциям результата, как правило, не дает.
12. Коэффициент усиления дисперсии шумов (сумма квадратов значений импульсного отклика) равен 0.341 при N=5, и 0.278 при N=4.
Рис. 6.1.6.
Значение множителя G в общем случае находится нормировкой к 1 коэффициента передачи фильтра при w = 0. Для ФНЧ и ФВЧ при использовании вышеприведенных формул значение G равно 1.
Курсовая работа 21- Исследование возможности устранения сдвига фазы сигналов при использовании фильтров Баттеруорта.
Курсовая работа 22- Разработка программы расчета низкочастотного фильтра Баттеруорта.
6.2. Высокочастотный фильтр Баттеруорта /12/.
Синтез фильтров методом частотного преобразования. Высокочастотные и полосовые фильтры конструируются путем частотной трансформации передаточных функций фильтров низких частот. Если обозначить аргумент передаточных функций ФНЧ через p=jW, a функций ФВЧ и ПФ через s=jw, то всегда можно найти такую функцию частотного преобразования p=F(s), которая превращает один тип фильтров в другой. Для преобразования ФНЧ → ФВЧ функция частотного преобразования имеет вид:
p = 1/s, (6.2.1)
В этом нетрудно убедиться сравнением двух видов преобразования. Как известно, передаточная функция ФВЧ может быть получена из ФНЧ разностью между широкополосным фильтром (H(w)=1) и ФНЧ. Применяя этот метод для функции Баттеруорта, получаем:
|H(w)|2 = 1-|H(W)|2 = 1- 1/(1+W2N) = W2N/(1+W2N). (6.2.2)
С другой стороны, при W = p/j: |H(p)|2 = 1/(1-p2N). Выполняя подстановку (6.2.1) в это выражение, получаем:
|H(s)|2 = s2N/(s2N-1).
Возвратимся из последнего выражения к аргументу w с учетом принятого равенства s=jw:
|H(s)|2 = (jw)2N/((jw)2N-1) =(w)2N/(1+(w)2N),
что полностью повторяет (6.2.2) при w=W.
Подставляя p=1/s непосредственно в выражение H(p) (6.1.16) для четного значения N, получаем:
H(s) = G
s2/(s2+am s+1). (6.2.3)Для нечетного N:
H(s) = [G·s/(s+1)]
s2/(s2+am s+1). (6.2.4)После билинейного z-преобразования выражения с подстановкой s=g(1-z)/(1+z), для четного и нечетного значений N соответственно:
H(z) = G
g2·Gm·(1-z)2/(1-bm z+cm z2). (6.2.5)H(z) = G
g2·Gm·(1-z)2/(1-bm z+cm z2). (6.2.6)Gm = 1/(g2 + amg + 1). (6.2.7)
bm = 2·Gm (g2 - 1).
cm = Gm (g2 - amg + 1).
Значения коэффициентов Gm, bm, cm остаются без изменения (сравнить с (6.1.21-6.1.23)). При задании частотных параметров ФВЧ в том же виде, что и для ФНЧ, формула расчетов N и wdc получается аналогично ФНЧ, при этом в знаменателе выражения (6.1.6) отношение wdp/wds заменяется на wds/wdp:
N = ln [d/
] / ln(wds/wdp), (6.2.8)а в (6.1.7) деление членов правой части меняется на умножение:
wdc = wdp·d1/N. (6.2.9)
Уравнение рекурсивной фильтрации для m-го оператора фильтра:
yk = g2·Gm (xk-2xk-1+xk-2) + bm yk-1 - cm yk-2. (6.2.10)
Уравнение рекурсивной фильтрации для дополнительного h0(i) линейного оператора фильтра при нечетном N:
y0 = g·(xk-xk-1)/(g+1) + yk-1·(g-1)/(g+1). (6.2.11)
Пример расчета фильтра высоких частот Баттеруорта.
Техническое задание:
- Шаг дискретизации данных Dt = 0.0005 сек.
Частота Найквиста fN = 1/2Dt = 1000 Гц, ωN = 6.283·103 рад.
- Граничная частота полосы пропускания: fp = 700 Гц, wp = 4.398·103 рад.
- Граничная частота полосы подавления: fs = 500 Гц, ws = 3.142·103 рад.
- Коэффициенты неравномерности: Ар = Аs = 0.1.
 Рис. 6.2.1. |
Расчет дополнительных параметров:
1. d = Ap
/(1-Ap): d= 0.484.2. Деформированные частоты по формуле (6.1.4):
wdp = 7.85·103 рад. wds = 4·103 рад.